הצגת המקור של הדף "תרבוע העיגול"

[[קובץ:Squaring the Circle J.svg|200px|ממוזער|שמאל|השטח של ריבוע זה ועיגול זה שווים שניהם ל-P. בשנת 1882 הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] שאי אפשר לבנות תרשים במספר סופי של צעדי [[בנייה בסרגל ומחוגה]]]]
'''תַּרְבּוּעַ הָעִגּוּל''' הוא בעיה ב[[גאומטריה]] שהועלתה לראשונה ב[[מתמטיקה ביוון העתיקה|מתמטיקה היוונית]], אחת מ[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]]. זה האתגר של יצירת [[ריבוע]] ש[[שטח]]ו שווה לשטח של [[מעגל]], על ידי שימוש במספר סופי של צעדים של [[בנייה בסרגל ובמחוגה]]. הקושי שבבעיה העלה את השאלה האם [[אקסיומה|אקסיומות]] מוגדרות של [[גאומטריה אוקלידית]] הנוגעות לקיומם של [[ישר|קווים]] ומעגלים מרמזות על קיומו של ריבוע כזה.

בשנת 1882 הוכח שהמשימה בלתי אפשרית, כתוצאה מ[[משפט לינדמן-ויירשטראס]], המוכיח ש־[[פאי|<math>\pi</math>]] הוא [[מספר טרנסצנדנטי]]. כלומר <math>\pi</math> אינו יכול להיות מיוצג על ידי [[שורש (של פונקציה)|השורש]] של [[פולינום]] כלשהו עם מקדמים [[מספר רציונלי|רציונליים]]. במשך עשרות שנים היה ידוע שהמשימה בלתי אפשרית אם <math>\pi</math> טרנסצנדנטי, אך עובדה זו לא הוכחה עד 1882.

חרף ההוכחה שתרבוע העיגול בלתי אפשרי, ניסיונות לעשות כן היו נפוצים בפסאודו־מתמטיקה. הביטוי "תרבוע העיגול" משמש לעיתים [[מטאפורה]] לניסיון לעשות את הבלתי אפשרי.

== היסטוריה ==
שיטות לחישוב השטח המשוער של עיגול נתון, שניתן לחשוב עליה כעל בעיה מקדימה לתרבוע העיגול, היו ידועות כבר בתרבויות עתיקות רבות. ניתן לסכם את השיטות הללו על ידי ציון ה[[קירוב]] ל־<math>\pi</math> שהן מייצרות. בסביבות שנת 2000 לפני הספירה השתמשו המתמטיקאים הבבלים בקירוב {{ללא גלישה|<math>\pi\approx\tfrac{25}{8}=3.125</math>,}} ובערך באותו זמן השתמשו המתמטיקאים המצרים הקדמונים ב־ {{ללא גלישה|<math>\pi\approx\tfrac{256}{81}\approx 3.16</math>.}} למעלה מ־1000 שנים מאוחר יותר, ב[[ספר מלכים]], מופיע הקירוב הפשוט יותר, {{ללא גלישה|<math>\pi\approx3</math>.{{r|b3p}}}} מתמטיקה הודית עתיקה, כפי שתועדה ב־Shatapatha Brahmana ו־Shulba Sutras, השתמשה בכמה קירובים שונים {{ללא גלישה|to <math>\pi</math>.{{r|plofker}}}} [[ארכימדס]] הוכיח נוסחה לשטח העיגול, לפיה <math>3\,\tfrac{10}{71}\approx 3.141<\pi<3\,\tfrac{1}{7}\approx 3.143</math>. במתמטיקה הסינית, במאה השלישית לספירה, מצא [[ליאו הואי|ליו הואי]] קירובים מדויקים אף יותר באמצעות שיטה דומה לזו של ארכימדס, ובמאה החמישית מצא צו צ'ונגז'י <math>\pi\approx 355/113\approx 3.141593</math>, קירוב המכונה Milü.

הבעיה של בניית ריבוע ששטחו שווה בדיוק לזה של עיגול, ולא קירוב אליו, מגיעה מ[[מתמטיקה ביוון העתיקה|המתמטיקה היוונית]]. מתמטיקאים יוונים מצאו בניות בסרגל ומחוגה כדי להמיר כל [[מצולע]] לריבוע בעל שטח שווה ערך. הם השתמשו בבנייה זו כדי להשוות שטחים של מצולעים מבחינה גאומטרית, ולא על ידי חישוב מספרי של שטח שיהיה אופייני יותר במתמטיקה המודרנית.

[[ג'יימס גרגורי]] ניסה להוכיח את חוסר האפשרות של הפיכת עיגול לריבוע ב־Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura ("הריבוע האמיתי של המעגל ושל ה[[היפרבולה]]") ב־1667. אף על פי שההוכחה שלו הייתה שגויה, היה זה המאמר הראשון שניסה לפתור את הבעיה באמצעות מאפיינים אלגבריים של <math>\pi</math>. [[יוהאן היינריך למברט]] הוכיח ב־1761 כי <math>\pi</math> הוא [[מספר אי-רציונלי|מספר אי־רציונלי]]. רק ב־1882 הצליח [[פרדיננד לינדמן]] להוכיח ש־<math>\pi</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]], ועל ידי כך גם הוכיח את חוסר האפשרות לתרבוע העיגול בסרגל ובמחוגה.

== הוכחה ==
הפתרון של בעיית תרבוע העיגול על ידי סרגל ומחוגה מחייב בניית המספר <math>\sqrt\pi</math>, אורך הצלע של ריבוע ששטחו שווה לזה של [[מעגל היחידה]]. אם <math>\sqrt\pi</math> היה [[שדה המספרים הניתנים לבנייה|מספר הניתן לבנייה]], ממילא נובע מקונסטרוקציות סטנדרטיות של [[בנייה בסרגל ובמחוגה]] ש־<math>\pi</math> יהיה גם מספר הניתן לבנייה. בשנת 1837 הראה פייר ונצ'ל שאורכים שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה צריכים להיות פתרונות של משוואות פולינומיות מסוימות עם מקדמים רציונליים. לכן אורכים הניתנים לבנייה חייבים להיות [[מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]]. אילו תרבוע העיגול היה אפשרי באמצעות סרגל ומחוגה בלבד, <math>\pi</math> היה צריך להיות מספר אלגברי. רק בשנת 1882 הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] את הטרנסצנדנטיות של <math>\pi</math>, וכך הראה את חוסר האפשרות של בנייה זו. הרעיון של לינדמן היה לשלב את הוכחת הטרנסצנדנטיות של [[E (קבוע מתמטי)|<math>e</math>]], שהוצגה על ידי [[שארל הרמיט]] ב־1873, עם [[זהות אוילר]]:<math display="block">e^{i\pi}=-1.</math>זהות זו מראה מיד כי <math>\pi</math> הוא [[מספר אי-רציונלי|מספר אי־רציונלי]], כי חזקה רציונלית של מספר טרנסצנדנטי נשארת טרנסצנדנטית. לינדמן הצליח להרחיב טיעון זה, באמצעות [[משפט לינדמן-ויירשטראס]] על אי־תלות ליניארית של חזקות אלגבריות של <math>e</math>, להראות ש־<math>\pi</math> הוא טרנסצנדנטי ולכן תרבוע העיגול הוא בלתי אפשרי.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
<div class="mw-content-ltr">
* {{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/impossible/sq_circle.shtml|title=Squaring the Circle|work=[[cut-the-knot]]|first=Alexander|last=Bogomolny}}
* {{cite web|last=Grime|first=James|title=Squaring the Circle|url=https://www.youtube.com/watch?v=CMP9a2J4Bqw|work=Numberphile|via=YouTube}}
* {{cite journal|journal=Convergence|publisher=Mathematical Association of America|title=An Investigation of Historical Geometric Constructions|url=https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/an-investigation-of-historical-geometric-constructions|first1=Suzanne|last1=Harper|first2=Shannon|last2=Driskell|date=August 2010}}
* {{cite web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Squaring_the_circle/|title=Squaring the circle|work=[[MacTutor|MacTutor History of Mathematics archive]]|date=April 1999|first1=J J|last1=O'Connor|first2=E F|last2=Robertson}}
* {{cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=O1sPvUr0YC0|title=2000 years unsolved: Why is doubling cubes and squaring circles impossible?|first=Burkard|last=Polster|author-link=Burkard Polster|via=YouTube|work=Mathologer}}
</div>
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פאי]]
[[קטגוריה:בנייה בסרגל ובמחוגה]]