הצגת המקור של הדף "תת-אלגברת קרטן"

'''תת-אלגברת קרטן''' (Cartan subalgebra) של [[אלגברת לי]] היא תת-אלגברה [[אלגברת לי נילפוטנטית|נילפוטנטית]] השווה ל[[מנרמל]] של עצמה. לתת-אלגברת קרטן מספר הגדרות שקולות המערבות מספר מושגים יסודיים באלגבראות לי. השימוש המרכזי שלהן הוא שבעזרתן ניתן לפרק [[הצגה ליניארית|הצגות]] של [[אלגברת לי פשוטה למחצה|אלגבראות לי פשוטות למחצה]] לסכום ישר של מרחבים ממושקלים.

המונח נקרא על שם המתמטיקאי [[אלי קרטן]].

==הגדרה==
תהי <math>\mathfrak{g}</math> [[אלגברת לי]], ותהי <math>\mathfrak{h} \le \mathfrak{g}</math> תת-אלגברה שלה. ה'''מנרמל''' של <math>\mathfrak{h}</math> ב-<math>\mathfrak{g}</math> הוא
<center>
<math>N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}):=\{y \in \mathfrak{g} \mid \forall x \in \mathfrak{h}: [x,y] \in \mathfrak{h}\}</math>.
</center>
זוהי תת-האלגברה המקסימלית שבה <math></math> היא [[אידיאל (אלגברת לי)|אידיאל]].

<math>\mathfrak{h}</math> נקראת '''תת-אלגברת קרטן''' של <math>\mathfrak{g}</math> אם היא [[אלגברת לי נילפוטנטית|נילפוטנטית]] השווה למנרמל שלה: <math>\mathfrak{h}=N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})</math>.

תת-אלגברה כזו קיימת עבור אלגברה סוף ממדית מעל שדה אינסופי.

==דוגמאות==
* אם האלגברה <math>\mathfrak{g}</math> היא [[אלגברת לי נילפוטנטית|נילפוטנטית]], אז תת-אלגברת קרטן שלה היא עצמה, ורק היא.
* תת-אלגברת קרטן של [[האלגברה הליניארית הכללית]] <math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})</math> היא האלגברה של המטריצות האלכסוניות, וממדה <math>n</math>.
* בדומה, תת-אלגברת קרטן של [[האלגברה הליניארית המיוחדת]] <math>\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})</math> היא האלגברה של המטריצות האלכסוניות, וממדה <math>n-1</math>.
* תת-אלגברת קרטן של [[האלגברה האורתוגונלית המיוחדת]] <math>o_n(F)</math> עבור <math>n</math> זוגי, היא תת-האלגברה שמכילה מטריצות מהצורה:
<center>
:<math>\begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\
\end{bmatrix}</math>
</center>
כאשר <math>\lambda_i \in F</math>, ומספר הבלוקים הוא <math>r=\frac{n}{2}</math>. אם <math>n</math> אי-זוגי מוסיפים שורה ועמודה של אפסים בסוף, ומתקבלת תת-אלגברת קרטן במקרה האי-זוגי.

==תכונות==
כל תת-אלגברת קרטן היא תת-אלגברה נילפוטנטית מקסימלית. מעל [[שדה סגור אלגברית]], כל תת-אלגברת קרטן היא גם אבלית מקסימלית.

כל תת-אלגברה ה[[הצמדה (תורת החבורות)|צמודה]] לתת-אלגברת קרטן, גם היא תת-אלגברת קרטן. מעל שדה סגור אלגברית מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס, לכל אלגברת לי סוף ממדית קיימת תת-אלגברת קרטן, ויותר מכך - כל תת-אלגבראות הקרטן של האלגברה צמודות, ובפרט [[איזומורפיזם|איזומורפיות]]. הטענה איננה נכונה מעל שדה לא סגור אלגברית - למשל, ל-<math>\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})</math> יש שתי תת-אלגבראות קרטן לא צמודות.

בכל אלגברת לי ליניארית מעל שדה סגור אלגברית, כל תת-אלגברת קרטן היא אלגברה טורלית מקסימלית (Toral) - זוהי אלגברה שבה כל האיברים הם לסכינים; היא מקסימלית ביחס לתכונה זו. במקרה הכללי ייתכנו אלגבראות לי טורליות נוספות שאינן קרטן, אך כאשר האלגברה היא פשוטה למחצה ולשדה יש מאפיין אפס, אז גם ההפך נכון - כל אלגברה טורלית מקסימלית היא קרטן. 

עבור אלגברת לי פשוטה למחצה <math>\mathfrak{g}</math> (סוף ממדית, מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס), איברי תת-אלגברת קרטן הם תמיד פשוטים למחצה. יותר מכך, בהינתן כל הצגה (או בשקילות, [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]]) של <math>\mathfrak{g}</math> כנ"ל, ניתן להיעזר בפעולה של הקרטן כדי לכתוב את המודול בתור [[סכום ישר]] של מודולים ממשוקלים, 
<math>M_\lambda = \{v \in M \mid \forall h \in \mathfrak{h}:h \cdot v = \lambda(h)v\}</math> כאשר <math>\lambda \in \mathfrak{h}^*</math>. מודול <math>M</math> המתפרק לסכום של מרחבים ממושקלים נקרא '''מודול ממשוקל'''. [[מקרה פרטי]] וחשוב של בנייה זו הוא כאשר מדובר ב[[ההצגה הצמודה|הצגה הצמודה]] של האלגברה, ואז מתקבל '''פירוק קרטן''' שלה. זוהי בנייה בסיסית וחשובה המובילה להגדרות כלליות יותר, כמו זו של [[הקטגוריה O]].

==איברים רגולריים==
מעל שדה סגור אלגברית, ניתן לתת תיאור מפורש לתת-אלגברת קרטן מסוימת.

לצורך כך, נסמן את ה[[פולינום אופייני]] של <math>x \in \mathfrak{g}</math> בתור <math>P(t)= \sum{a_i(x) t^n}</math>. נגדיר את ה'''דרגה''' של האלגברה <math>\deg{g}</math> בתור המספר הנמוך ביותר <math>i</math> כך ש-<math>a_i(x)</math> איננו אפס זהותית. '''איבר רגולרי''' של האלגברה הוא איבר <math>x</math> שעבורו <math>a_{\deg{\mathfrak{g}}}(x) \neq 0</math>; איבר כזה תמיד קיים כששדה הבסיס הוא אינסופי.

כעת, אם נגדיר את ה[[ערך עצמי#וקטור עצמי ומרחב עצמי|מרחב העצמי המוכלל]] של <math>\lambda \in F</math> בתור 
<center>
<math>\mathfrak{g}^\lambda_x := \{y \in \mathfrak{g} \mid \exists n: (\operatorname{ad}_x-\lambda I)^n (y) = 0\}</math>
</center>
נקבל כי לכל <math>x\in \mathfrak{g}</math>, האלגברה היא [[אלגברה מדורגת]] מעל המרחבים הנ"ל: מתקיים <math>[\mathfrak{g}^\lambda_x,\mathfrak{g}^\mu_x] \subseteq \mathfrak{g}^{\lambda+\mu}_x</math> ו- <math>\mathfrak{g} = \oplus_{\lambda \in F} {\mathfrak{g}^\lambda_x}</math>.

'''משפט''': תת-אלגברת קרטן של אלגברת לי <math>\mathfrak{g}</math> מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס היא תת-האלגברה <math>\mathfrak{g}^0_x</math>. לתת-אלגברת קרטן זו [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] השווה לדרגה <math>\deg{g}</math>.

==ראו גם==
*[[תת-חבורת קרטן]]
*[[אלגברת אנגל]]

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* [http://math.mit.edu/classes/18.745/Notes/Lecture_8_Notes.pdf Cartan subalgebra], Victor Kac.
* [http://relaunch.hcm.uni-bonn.de/fileadmin/perrin/chap9.pdf Cartan subalgebras].
</div>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגבראות לי|קרטן]]