הצגת המקור של הדף "תת-חבורת פרטיני"

ב[[תורת החבורות]], '''תת-חבורת פרטיני''' של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] נתונה שווה לחיתוך כל תת-החבורות המקסימליות של החבורה. תת-חבורת פרטיני של כל חבורה סופית היא [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]]. מקובל לסמן את תת-חבורת פרטיני של <math>G</math> ב-<math>\Phi(G)</math> או ב-<math>\operatorname{Fr}(G)</math>.

== איברים לא-יוצרים ==

תת-חבורת פרטיני כוללת בדיוק את האיברים הלא-יוצרים של <math>G</math> (איבר הוא '''לא-יוצר''' אם גריעתו מקבוצה היוצרת את החבורה מותירה קבוצה יוצרת), ובכך היא דומה ל[[רדיקל ג'ייקובסון]] מתורת החוגים. בדומה ל[[הלמה של נקיאמה|למה של נקיאמה]], אם <math>\Phi(G)</math> [[חבורה נוצרת סופית|נוצרת סופית]] אז <math>\Phi(G)H \neq G</math> לכל תת-חבורה אמיתית <math>H</math> של <math>G</math>.

<math>\Phi(G)=G</math> רק אם אין לחבורה תת-חבורות מקסימליות (לא טריוויאליות). כש-<math>G</math> אבלית, זה קורה אם ורק אם <math>G</math> [[חבורה חליקה|חליקה]]. בכל מקרה, כאשר <math>G</math> [[חבורה אבלית|אבלית]], <math>\Phi(G) = \cap_p G^p</math>.

=== חבורות-p ===

תת-חבורת פרטיני של [[חבורת-p]]{{כ}} <math>P</math> היא תת-החבורה הנוצרת על ידי [[תת-חבורת הקומוטטורים|הקומוטטורים]] וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן, אם <math>P</math> סופית, אז המנה <math>P/\Phi(P)</math> היא מהצורה <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^d</math> עבור <math>d</math> מתאים. במקרה זה, אפשר [[קבוצת יוצרים|ליצור את החבורה]] על ידי <math>d</math> איברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים ב[[הצגה לפי יוצרים ויחסים]] אפשר לקרוא מ[[הומולוגיה (מתמטיקה)|חבורת ההומולוגיה השנייה]] <math>H_2(P,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})</math>: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה, r, היא מספר היחסים המינימלי בכל הצגה של החבורה עם d יוצרים; וש-r יחסים מספיקים בקטגוריה ה[[חבורה פרו-סופית|פרו-סופית]]. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם <math>d</math> יוצרים ו-<math>r</math> יחסים.

== נילפוטנטיות ==

אם <math>\Phi(G)</math> '''חבורת-M''' (חבורה שיש לה [[סדרה נורמלית]] שבה כל המנות האינסופיות הן ציקליות; בפרט, אם היא סופית), אז היא נילפוטנטית. גם תת-חבורת פרטיני של כל [[חבורה ליניארית]] נוצרת סופית היא נילפוטנטית.

=== הכלת הקומוטטורים ===

לכל חבורה <math>G</math>, חיתוך ה[[מרכז (תורת החבורות)|מרכז]] עם [[תת-חבורת הקומוטטורים]] <math>G'</math> מוכל ב-<math>\Phi(G)</math>. לעומת זאת, <math>G'\subseteq \Phi(G)</math> אם ורק אם כל תת-החבורות המקסימליות של <math>G</math> הן [[תת-חבורה נורמלית|נורמליות]]. התנאי הזה מתקיים אם <math>G</math> [[חבורה נילפוטנטית]]; גם להפך: אם <math>G</math> היא חבורת-M והיא נילפוטנטית, אז <math>G'  \subseteq \Phi(G)</math>.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:תורת החבורות]]