הצגת המקור של הדף "תת-מודול קטן"

ב[[תורת החוגים]], '''תת-מודול קטן''' של [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] <math>M</math> מעל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>R</math>, הוא תת-מודול <math>S</math> כך שלכל תת-מודול אמיתי <math>N</math>, גם הסכום <math>N+S</math> אמיתי. במילים אחרות, לא ייתכן ש-<math>N+S=M</math> אלא אם <math>N=M</math>. תת-מודול האפס הוא תמיד קטן, אבל הטרמינולוגיה עשויה להטעות: אם יש למודול תת-מודול המכיל כל תת-מודול אמיתי אחר, אז הוא קטן.

== תכונות ==

אוסף התת-מודולים הקטנים של מודול <math>M</math> סגור תחת "כלפי מטה" (כלומר, תת-מודול של תת-מודול קטן הוא קטן בעצמו), וגם תחת סכומים סופיים. אם <math>S</math> תת-מודול קטן של <math>M</math>, אז הוא תת-מודול קטן של כל מודול המכיל את <math>M</math>. הכיוון ההפוך נכון באופן חלקי מאד: אם <math>S</math> מוכל במודול <math>M</math> והוא קטן בסכום ישר <math>M \oplus M'</math>, אז הוא קטן גם ב-<math>M</math>. קטנות נשמרת תחת מנה בתת-מודול קטן, כלומר: אם <math>K</math> תת-מודול קטן של <math>M</math> המוכל בתת-מודול <math>E</math>, אז <math>E</math> קטן ב-<math>M</math> אם ורק אם המנה <math>E/K</math> קטנה ב-<math>M/K</math>.

התכונה של תת-מודול להיות קטן ניתנת לאפיון פנימי: <math>S</math> הוא תת-מודול קטן של מודול כלשהו, אם ורק אם הוא תת-מודול קטן ב[[סגור אינג'קטיבי|סגור האינג'קטיבי]] של עצמו.

סכום תת-המודולים הקטנים של <math>R</math>, כמודול מעל עצמו, הוא [[רדיקל ג'ייקובסון]] של החוג. הרדיקל עצמו הוא תת-מודול קטן, ולפי [[הלמה של נקאימה]] <math>J(R)M</math> הוא תת-מודול קטן של <math>M</math> לכל [[מודול נוצר סופית]] <math>M</math>.

== ראו גם ==
* [[תת-מודול גדול]] (נקרא גם '''תת-מודול עיקרי''')

[[קטגוריה:תורת החוגים]]