הצגת המקור של הדף "תת-קבוצה"

[[קובץ:Group set.png|שמאל|ממוזער|250px|[[דיאגרמת ון]] של קבוצה עם תת־קבוצה המוכלת בה. באיור זה B מוכלת ממש ב A.]]
ב[[תורת הקבוצות]], אומרים ש[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>B</math> היא '''תת־קבוצה''' של קבוצה <math>A</math>{{הערה|1=או במילים שקולות: הקבוצה <math>B</math> היא '''חלקית''' לקבוצה <math>A</math>, או:  הקבוצה <math>B</math> '''מוכלת''' בקבוצה <math>A</math>, או: הקבוצה <math>A</math> '''מכילה''' את הקבוצה <math>B</math>}} אם כל [[איבר (תורת הקבוצות)|איבר]] של הקבוצה <math>B</math> שייך גם לקבוצה <math>A</math>. (בניסוח פורמלי: לכל <math>x\in B</math> מתקיים <math>x \in A</math>). על פי הגדרה זו ייתכן ש <math>A</math> ו-<math>B</math> שוות. אם הן שונות, אז <math>B</math> היא '''תת-קבוצה ממש''' של <math>A</math>.

את הקשר "<math>B</math> מוכלת ב־<math>A</math>" (או: <math>B</math> חלקית ל־<math>A</math>, או: <math>B</math> תת־קבוצה של <math>A</math>, או, <math>A</math> מכילה את <math>B</math>) מסמנים כך: <math>B \subseteq A</math>, והוא מכונה '''יחס ההכלה'''.

==מאפיינים==
[[הקבוצה הריקה]] היא קבוצה חלקית לכל קבוצה נתונה. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה הנתונה (הטענה נכונה [[באופן ריק]] כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).

ל[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]] ההכלה המאפיינים הבאים:
* "[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]": כל קבוצה היא תת־קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה).
* "[[טרנזיטיביות]]": אם הקבוצה <math>A</math> היא תת־קבוצה של הקבוצה <math>B</math> והקבוצה <math>B</math> היא תת־קבוצה של הקבוצה <math>C</math>, אזי הקבוצה <math>A</math> היא גם תת־קבוצה של הקבוצה <math>C</math> (בניסוח פורמלי: אם <math>A \subseteq B</math> וגם <math>B \subseteq C</math> אז <math>A \subseteq C</math>).

אם כן, יחס ה'''הכלה''' הוא [[יחס סדר חלקי]]: הוא [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]], [[יחס אנטי סימטרי|אנטיסימטרי חלש]] ו[[טרנזיטיביות|טרנזיטיבי]]. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הישראלים, או הקבוצה <math>\{ 1,2 \}</math> והקבוצה <math>\{ 2,3 \}</math>) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.

==יחסים נוספים==
באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה <math>A</math> שווה לקבוצה <math>B</math> [[אם ורק אם]] הקבוצה <math>A</math> מכילה את הקבוצה <math>B</math> וגם הקבוצה <math>B</math> מכילה את הקבוצה <math>A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>A = B\iff B\subseteq A \land A\subseteq B</math>).

באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה <math>A</math> מכילה את הקבוצה <math>B</math> אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה <math>A</math> שהוא אינו איבר בקבוצה <math>B</math>, ובניסוח פורמלי <math>B \subseteq A</math> וגם <math>B \neq A</math>), נאמר שהקבוצה <math>A</math> '''מכילה ממש''' את הקבוצה <math>B</math>, או במילים שקולות: הקבוצה <math>B</math> היא '''חלקית ממש''' לקבוצה <math>A</math>. יחס זה מסמנים <math>B \subset A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>B \subset A\iff B\subseteq A \land B\neq A</math>).

הסימון <math>\subset</math> עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים <math>\subseteq</math> ו־<math>\subset</math> הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים <math>\subset</math> ו־<math>\subsetneq</math> לאותן מטרות, בהתאמה.

==ראו גם==
*[[מונחים בתורת הקבוצות]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
[[קטגוריה:יחסים מתמטיים]]

[[ro:Mulțime#Submulțimi]]