הצגת המקור של הדף "תת-קטגוריה"

ב[[מתמטיקה]], תת-קטגוריה של [[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] C היא קטגוריה שבה אוסף האובייקטים הוא תת-אוסף של אוסף האובייקטים של C, אוסף המורפיזמים הוא תת-אוסף של אוסף המורפיזמים של C, אם אותם מורפיזמי זהות והרכבה.

==הגדרה==
'''תת-קטגוריה''' S של קטגוריה C נתונה על ידי
* תת-אוסף ob(S) של אוסף האובייקטים של C ו
* תת-אוסף hom(S) של אוסף המורפיזמים של C
כך ש
* לכל אובייקט X ב ob(S), מורפיזם הזהות Id_X שייך ל hom(S).
* לכל מורפיזם ''f'' : ''X'' → ''Y'', גם המקור X וגם הטווח Y שייכים ל hom(S).
* לכל שני מורפיזמים f ו g ב hom(S), שההרכבה שלהם ב C מוגדרת, ההרכבה שייכת ל hom(S).

האוספים ob(S) ו hom(S) מגדירים קטגוריה S, שההרכבה בה מושרה על ידי ההרכבה ב C, ופונקטור טאוטולוגי מהימן מ־S ל C.
==דוגמאות==
* קטגוריית הקבוצות הסופיות היא תת-קטגוריה מלאה של [[קטגוריית הקבוצות]].
* קטגורית ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] היא תת-קטגוריה לא מלאה של קטגוריית ה"[[חוג בלי יחידה|חוגים בלי יחידה]]".

==סוגים של תת-קטגוריות==
* תת-קטגוריה S ב C נקראת '''תת-קטגוריה מלאה''' אם עבור כל שני אובייקטים X ו־Y ב־S מתקיים
:<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)</math>.
* תת-קטגוריה S של [[קטגוריה אבלית]] C נקראת '''תת-קטגוריית סר''' אם לכל [[סדרה מדויקת קצרה]]
:<math>0\to M'\to M\to M''\to 0</math>
ב C, M שייך ל־S אם ורק אם גם 'M וגם ''M שייכים ל S.

[[קטגוריה:תורת הקטגוריות]]