הצגת המקור של הדף "0 (מספר)"

{{מספר שלם
|כתיב עשרוני=0
|במילים=אפס
|מספר סודר=-
|גימטריה=-
|פירוק לגורמים=-
|כתיב רומי=<math>\ N </math>{{הערה|1=קיצור המילה nihil או nullus (כלום, שום דבר); בימי הביניים, לאחר שהגיע מושג האפס לתרבות המערב, נעשה לעיתים שימוש בקיצור זה.}}
|כתיב בינארי=0
|כתיב הקסדצימלי=0
}}
'''אפס''' הוא ה[[מספר]] ה[[מספר שלם|שלם]] שבא לפני [[1 (מספר)|1]] ואחרי [[−1|1−]]. אפס הוא ה[[מספר סודר|מספר הסודר]] הקטן ביותר, וכמציין כמות הוא מתייחס למספר האיברים ב[[הקבוצה הריקה|קבוצה הריקה]].

==היסטוריה של האפס==
בשיטת הסימון ה[[ספרות רומיות|רומית]] אין סימון מיוחד לאפס, והוא מבוטא בהיעדר כל סימון. המחסור בסימן מיוחד עבור האפס עיכב את התפתחותה של [[השיטה העשרונית|שיטת הסימון העשרונית]], המקובלת היום.
===הסימון 0===
מקורה של הקצאת סימן מיוחד לאפס ב[[הודו]] בשנת [[628]], בכתב היד [[בראהמספהוטסידהאנטה]]. במקורו נקרא האפס "סוּניה" – מילה [[הינדים|הינדית]] שפירושה "ריק" – ה-0 ייצג את העמודה הריקה ב[[חשבונייה]]. ההכרה באפשרות לסמן עמודה ריקה איפשרה להודים להמציא את [[השיטה העשרונית]], שבה האפס מבדיל בין מספר כגון שלושים ואחת (31) ושלושת-אלפים ועשר (3010). כ-200 שנים אחר כך, סימנו ה[[ערבים]] את הספרה הזו באמצעות עיגול ריק וקראו לו "סיפְר" (שוב, מילה שפירושה "ריק"). עם הזמן הפך ה"סיפר" הערבי ל-"zero" המערבי, וכך הוא נקרא עד היום.

מן ההודים הגיע האפס לכתביו של ה[[מתמטיקאי]] והפילוסוף הפרסי בן [[המאה ה-9|המאה התשיעית]], [[מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי|אל ח'ואריזמי]], ורק ב[[המאה ה-11|מאה ה-11]] הגיע דרך [[אנדלוסיה]] ל[[אירופה]]. בתפקיד דומה מופיע האפס גם ב[[תרבות|תרבויות]] [[אמריקה|אמריקאיות]] קדומות, כמו זו של בני ה[[מאיה]].

ההופעה הראשונה של הספרה "אפס" במערב הייתה בספריו של [[פיבונאצ'י]]. בשנת [[1202]] פרסם את ספרו [[ספר החשבונייה]] (Liber abbaci), שתרם להפצת השימוש בספרות הערביות בעולם המערבי (שם השתמשו ב[[ספרות רומיות]]), ואשר הכיל חידושים רבים.

===בעברית===
ב[[ימי הביניים]] השתמשו המתמטיקאים היהודים במילה סיפרא לציון האפס, אך הראשון שכתב על המושג אפס בעברית היה רבי [[אברהם אבן עזרא]] ([[1089]]/[[1092]]–[[1167]]) בספרו "[[אברהם אבן עזרא#ספריו המתמטיים|ספר המספר]]", שכינה את האפס גלגל: {{ציטוט|ואם אין לו מספר באחדים ויש לו מספר במעלה השנית שהם העשרות, ישים כדמות גלגל O בראשונה להורות כי אין במעלה הראשונה מספר ... וזה הגלגל O וטעמו כגלגל, כקש לפני רוח, ואינו אלא לשמור המעלות, ובלשון לעז שמו סיפרא.}}
בדורות המאוחרים יותר, לא היה שם מקובל למספר אפס. רבי [[עשהאל יהודה מה טוב]] בספרו "כיסאות לבית דוד" ([[ורונה]], [[ה'ת"ט]], [[1649]]){{הערה|[https://hebrewbooks.org/22610  כיסאות לבית דוד]}} קורא לאפס בשם הארוך: {{ציטוטון|האותיות העגולות אשר יקראו אותן בלשונם אפס ואין... שהם באמת ובתמים בלתי בעלי הוראה פרטית מיוחדת למספר כי אם סימן וזכר לעשרות ומאות ואלפים}}, ורבי [[אליהו צאהלין]] בספרו "מלאכת מחשבת" ([[זאלקווא]], [[תקי"ח]], [[1757]]) כתב: {{ציטוטון|בראשית אציג לפניך התשעה אותיות אשר בהם יוחשבו כל החשבונות שבעולם עד אין קץ ותכלית [וכאן מובאת רשימת הספרות 1-9]... ועוד יש אות אחד חוץ מתשעה אותיות האלו והוא כטבעת הזה O, ונקרא בלשונם נוּל [כלום, אפס בגרמנית], ואין בו שום מספר... כי אם פעולתו על האות שאחריו העומד לשמאלו}}.

המילה העברית 'אפס' במובן של "אַיִן" מופיעה כבר בתנ"ך, כמו בפסוק "ויאמר המלך, האפס עוד איש לבית שאול, ואעשה עמו, חסד אלוהים" ({{תנ"ך|שמואל ב|ט|ג}}) או במשמעות של [[מילה נרדפת]] ל"אך" כמו בפסוק "אפס כי עז" ({{תנ"ך|במדבר|יג|כח}}). הפעם הראשונה שהשתמשו במילה אפס לציון המספר, היה בספר לימוד של [[דוד פריזנהויזן]] שנקרא "כליל החשבון" שנדפס ב[[ברלין]] בשנת [[תקנ"ז]] ([[1796]]), ומאז התקבל שם זה בתפוצות העם.

==האפס במתמטיקה==
מלבד תפקידו של ה'''סימן''' לספרת האפס בשיטות הספירה הפוזיציוניות, למספר אפס יש תפקידים רבים במתמטיקה. ב[[מספר סודר|מספרים הסודרים]], [[הקבוצה הריקה]] משמשת בסיס לבניית המספרים הטבעיים, באמצעות ההגדרות <math>\ 0=\phi, 1=\{\phi\}, 2=\{\phi,\{\phi\}\},\dots</math>. מספרים אלה מצטרפים לכדי [[מערכת פאנו]] של המספרים הטבעיים במערכת האקסיומות של [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]]. בדומה לזה, אפס הוא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] של הקבוצה הריקה.

במערכות אלגבריות כמו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] או [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]], ובפרט ב[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]] וב[[חוג המספרים השלמים|מספרים השלמים]], איבר האפס הוא ה[[איבר נייטרלי|איבר הנייטרלי]] ביחס ל[[חיבור]] ([[איבר האפס]]), כלומר, האיבר z המקיים את התנאי <math>\ a+z=a</math> לכל a. באנליזה מפריד האפס בין שני סוגי מספרים: כל מספר גדול ממנו הוא [[מספר חיובי]], וכל מספר קטן ממנו הוא [[מספר שלילי]], כך שלמעשה 0 אינו מוגדר כשלילי או כחיובי.

=== פעולות באפס ===
מתכונת הנייטרליות של המספר אפס נובעת ההרסנות של האפס בכפל: <math>\ a\cdot 0=0</math>. משום כך לא ניתן להגדיר את ההפכי של אפס כמספר ממשי: אילו היינו מסכימים ש- <math>\ b = \frac{1}{0}</math> הוא מספר ממשי, היה צריך להתקיים <math>\ 1 = b \cdot 0 =0</math>, וזה בלתי אפשרי. בהקשרים אחרים (גאומטריים ואנליטיים) אפשר להסכים שה[[חילוק באפס]] מניב אינסוף (<math>\ \frac{1}{0} = \infty</math>); הוספת האינסוף ל[[מערכות מספרים|מערכת המספרים]] מקלקלת את מרבית התכונות שלה, ולכן מקובל יותר לומר שהחילוק באפס אינו מוגדר.

לפיכך, התוצאה של חילוק אפס באפס אינה מוגדרת, משום שכל מספר מקיים את התנאי <math>\ a\cdot 0=0</math> הנדרש מתוצאת הפעולה. באנליזה של [[סדרה (מתמטיקה)|סדרות ממשיות]] אפשר לחקור את ה[[גבול של סדרה|גבול]] של תהליך שבו מתקרבים המונה והמכנה לאפס בעת ובעונה אחת. דוגמה אחת לתהליך כזה היא [[הגבול של sin(x)/x]]; קל למצוא דוגמאות שבהן מתקבל כל ערך שהוא, לרבות כל מספר ממשי, אפס, אינסוף, מינוס אינסוף, או אפילו הגבול איננו קיים כלל כגון <math>\frac{(-1/2)^n}{(1/2)^n}</math>.

מוסכם כי ערכה של [[מכפלה ריקה]] (שאין בה גורמים כלל) הוא 1, משום שהוספת קבוצה ריקה של גורמים למכפלה אחרת אינה משנה את ערכה, בדיוק כמו הכפל ב-1. משום כך נקבע כי <math>\ x^0=1</math> לכל מספר שונה מאפס x, וקביעה זו עקבית עם כללי החזקות הרגילים, כגון <math>\ a^{b+c}=a^b\cdot a^c</math>. לעומת זאת, משמעות הביטוי <math>0^0</math> תלויה בהקשר. בקומבינטוריקה נוח להגדיר את ערך הביטוי כ-1 (בהתאם להגדרת ה[[אריתמטיקה של עוצמות|חזקה של עוצמות]] בתור העוצמה של קבוצת פונקציות מתאימה), ובאנליזה הביטוי בדרך-כלל אינו מוגדר (משום שלכל מספר חיובי, <math>\ x^0=1</math>, בעוד ש- <math>\ 0^x=0</math>).

מאותן סיבות נקבע כי ערכה של [[פונקציית העצרת]] של אפס הוא 1 (<math>\ 0!=1</math>). הסדר הריק (שאינו כולל אף מרכיב) הוא הדרך היחידה לסדר את אברי הקבוצה הריקה.

== ראו גם ==
* [[הזוגיות של אפס]]

== לקריאה נוספת ==
* צ'ארלס זייף, '''אפס – ביוגרפיה של רעיון מסוכן''', מי-אן, 2003

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:0_(number)|ויקימילון=אפס|שמאל}}
* {{MathWorld}}
* {{הקלטה}} [[חיים שפירא (מתמטיקאי)|חיים שפירא]], [https://web.archive.org/web/20150626121242/http://player.glz.co.il/Player.aspx?ClipID=0_1ixf2w28&Type=vod&Width=300&Height=200&FixedPoster=true&FixedPosterName=GLZAOD.jpg מהפכת המספר אפס], [[האוניברסיטה המשודרת]], [[גלי צה"ל]], 21 ביוני 2015
* {{הארץ|הגרדיאן|נמצאה העדות הקדומה ביותר לספרה אפס|1.4443816|14 בספטמבר 2017}}
* יעקב עציון, [https://www.safa-ivrit.org/writers/etsion/efes.php על האפס], באתר [https://www.safa-ivrit.org/ השפה העברית]
* [http://www.bbc.com/travel/story/20180807-how-india-gave-us-the-zero How india gave us the zero] מאתר ה-[[BBC]]
* {{הארץ|אילון גלעד|מתי קראנו לאֶפֶס בשמו?|1.6491244|20 בספטמבר 2018|מנויים=לא}}
* {{דוידסון|יוסי אלרן|קיצור תולדות האפס|sciencepanorama/קיצור-תולדות-האפס|13 בדצמבר 2018}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007534242405171|אפס (מספר)}}
* {{הארץ|ויטה ריירס|אפס כמילת גנאי|00000189-8cf5-d430-a59b-adfd21760000|25 ביולי 2023}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{מספרים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מספרים טבעיים]]
[[קטגוריה:תורת ההוויה]]
[[קטגוריה:אפס]]
[[קטגוריה:הודו: המצאות]]
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]