הצגת המקור של הדף "23 הבעיות של הילברט"

[[קובץ:David Hilbert.tif|ממוזער|דיוקן של דויד הילברט, תמונת השער של [https://royalsocietypublishing.org/toc/rsta/376/2118| ספר על הבעיה ה-6]]]

'''הבעיות של הילברט''' הן רשימה של 23 בעיות ב[[מתמטיקה]], שהוצגה על ידי המתמטיקאי [[דויד הילברט]] ב-1900. כל הבעיות היו [[בעיה פתוחה במתמטיקה|פתוחות]] באותה העת, וכמה מהן השפיעו מאוד על המתמטיקה במאה ה-20. בתחילה הציג הילברט עשר בעיות (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 ו-22 מהרשימה של ה-23) בוועידת [[פריז]] של [[הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים]], שהתקיימה ב-8 באוגוסט ב[[סורבון]] אלו עוררו עניין עולמי רב ובהמשך פרסם 13 בעיות נוספות, שהביאו את הרשימה ל-23 הבעיות המוכרות, שפורסמה מאוחר יותר במדינות רבות, הבולטת בהן היא התרגום ל[[אנגלית]] ב-1902 של [[מרי פרנסס וינסטון ניוסון]] ב[[כתב עת מדעי|כתב העת]] של [[האגודה האמריקאית למתמטיקה]].

חלק מהבעיות נפתרו במהלך השנים, כאשר אחת מהן (מספר 3) נפתרה על ידי [[מקס דן]] עוד באותה שנה, וחלקן נשארו פתוחות עד היום.

== אופי והשפעת הבעיות ==
הבעיות של הילברט מגוונות ברמת דיוקן והן שייכות לתחומים מתמטיים מגוונים. רוב השאלות מדויקות מספיק כדי לענות עליהן בתשובה חיובית או שלילית ברורה, אך ישנן שאלות המנוסחות באופן מעורפל יותר, ו[[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] קיבלו עבורן פרשנות רווחת אחת מסוימת. לדוגמה, נמצא הפתרון של הבעיה ה-5 לפי הפרשנות המקובלת, אבל בעיות קשורות ודומות מאוד נותרו לא פתורות. לפעמים הניסוחים של הילברט לא היו מדויקים מספיק כדי להציע בעיה ממשית, אבל מניסוח עכשווי היה ניתן לקבל בעיות דומות ממשיות. למרות זאת, בעיות אחרות כמו הבעיות ה-11 וה-16 עוסקות בנושאים שהתפתחו עם הזמן לתחומים מתמטיים משגשגים, כמו התורה של [[תבנית ביליניארית|תבניות ביליניאריות]] והתורה של [[עקום אלגברי|עקומים אלגבריים]] ממשיים.

ישנן שתי בעיות שהן לא רק פתוחות (לא פתורות) עד היום, אלא גם ייתכן שהן בלתי-פתירות בכלל בעקבות ניסוחן. הבעיה ה-6 בנושא אקסיומיזציה של ה[[פיזיקה]] הפכה לפחות חשובה משהייתה בעת ניסוחה עקב התפתחויות בפיזיקה מ[[המאה ה-20]]. באופן דומה, הבעיה ה-4 העוסקת ביסודות ה[[גאומטריה]], מנוסחת באופן שכיום נחשב מעורפל מכדי לאפשר מענה מדויק.

21 הבעיות האחרות קיבלו כולן תשומת לב מעשית ומחקרית רבה, והעבודה על הבעיות הללו הייתה מחשיבות עליונה עד סוף המאה ה-20. [[פול כהן]] קיבל את [[מדליית פילדס]] ב-[[1966]] על עבודתו על הבעיה הראשונה, והתשובה השלילית שניתנה לבעיה העשירית ב-[[1970]] הניבה שבחים דומים. הבעיות והיבטים שונים שלהן זוכים לעניין גבוה גם היום.

== אי-פתירות ==
הילברט ביקש להגדיר את המתמטיקה באופן לוגי על ידי [[מערכת פורמלית|מערכות פורמליות]], ועל ידי [[סופיות (הוכחה)|הוכחות סופיות]] {{אנ|Finitism}} מאוסף מוסכם של [[אקסיומה|אקסיומות]]. אחת מהמטרות המרכזיות של התוכנית של הילברט הייתה להוכיח את העקביות של האקסיומות של ה[[אריתמטיקה]]: זו הבעיה ה-2 ברשימה.

עם זאת, [[משפטי האי-שלמות של גדל|משפט האי-שלמות השני של גדל]] הוכיח שכזו הוכחה סופית לעקביות של אריתמטיקה היא בלתי אפשרית. הילברט חי עוד 12 שנים אחרי שגדל פרסם את המשפט שלו, אבל לא נראה כי הוא כתב תגובה רשמית כלשהי לעבודתו של גדל.

הבעיה ה-10 לא שואלת אם קיים [[אלגוריתם]] שקובע עבור [[משוואה דיופנטית]] אם היא פתירה, אלא מבקשת במקום זה לבנות את אותו אלגוריתם: "להמציא תהליך שייקבע, בכמות סופית של פעולות, אם המשוואה פתירה ב[[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]]". הבעיה נפתרה והוכח כי לא קיים אלגוריתם שכזה, מה שסתר את הפילוסופיה של הילברט למתמטיקה.

בדיון על דעתו שלכל בעיה מתמטית אמור להיות פתרון, הילברט מכיר בעובדה שהפתרון יכול להיות הוכחה שהבעיה המקורית אינה אפשרית. הוא קובע כי הנקודה היא לדעת בצורה כלשהי מהו הפתרון, והוא האמין שאנחנו תמיד יכולים לדעת את הפתרון, שאין במתמטיקה שום "ignorabimus" (טענה שאי אפשר לקבוע או למצוא את הנכונות שלה). {{אנ|Ignoramus et ignorabimus}}

== גרסאות המשך ==
מאז 1900, מתמטיקאים וארגונים מתמטיים הכריזו על רשימות של בעיות מתמטיות, אבל רק מעטות מהן זכו לאותה מידה של השפעה.

אחד מיוצאי הדופן הבודדים היא רשימה של שלוש השערות ששיער [[אנדרה וייל]] בסוף [[שנות ה-40 של המאה ה-20|שנות ה-40']]. בתחומים של [[גאומטריה אלגברית]], [[תורת המספרים]] ומה שמקשר בין השניים, השערות וייל היו חשובות ביותר.{{מקור|סיבה=|נושא=מדעי הטבע}} הראשונה מהשערות וייל הוכחה על ידי [[ברנרד דוורק]], והוכחה שונה לגמרי לשתי ההשערות הראשונות ניתנה על ידי [[אלכסנדר גרותנדיק]]. האחרונה והעמוקה מבין השערות וייל (אנלוג ל[[השערת רימן]]) הוכחה על ידי [[פייר דליניה]]. גרותנדיק ודליניה קיבלו שניהם [[מדליית פילדס]] על עבודתם. עם זאת, השערות וייל הן מעיין "בעיית הילברט אחת" בתוך התחום שלהן, והילברט מעולם לא חשב עליהן כמכסות את כל המתמטיקה.

[[פאול ארדש]] העלה מאות אם לא אלפי בעיות מתמטיות, הרבה מהן עמוקות. ארדש לעיתים קרובות הציע סכומים כספיים; הגודל של הסכום נקבע על פי קושי הבעיה.

לפחות בתקשורת המיינסטרים, רשימת הבעיות של המאה ה-21 דה פאקטו הן 7 [[בעיות המילניום של מכון קליי|בעיות המילניום]] שנבחרו בשנת 2000 על ידי [[מכון קליי למתמטיקה]]. בשונה מהבעיות של הילברט, שבהן הפרס המרכזי היה הכבוד של הילברט בפרט ושל הקהילה המתמטית ככלל, הפרס על כל אחת מהבעיות הוא מיליון דולר. בדומה לרשימה של הילברט, אחת מהבעיות ([[השערת פואנקרה]]) נפתרה יחסית מוקדם אחרי שהכריזו על הבעיות.

[[השערת רימן]] בולטת בכך שהיא נמצאת ברשימת הבעיות של הילברט, מכון קליי, ואפילו בהשערות וייל, בצורה הגאומטרית שלה. על אף שנוסתה על ידי מתמטיקאים גדולים רבים בני ימינו, ההשערה לא הוכחה או הופרכה יותר מ-160 שנים. הילברט עצמו הכריז: "אילו הייתי נכנס לתרדמת של אלף שנים, הדבר הראשון שהייתי שואל אחרי ההתעוררות היה: האם הוכיחו את השערת רימן?"{{מקור|סיבה=|נושא=מדעי הטבע}}

==רשימת הבעיות==
להלן כל 23 השאלות שהציג הילברט ומצבן העדכני:

{| class="wikitable"
|-
! width="4px" | <!-- צבע מילוי, כאינדיקציה לסטטוס הפתרון של הבעיה ("רמזור") -->
! width="45px" |
! תיאורה
! מצבה העדכני
|-
| style="background:LightGreen" |
| style="text-align:center" | [[השערת הרצף|בעיה 1]]
| [[השערת הרצף]], האומרת כי לא קיימת [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] מ[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] גדולה מזו של ה[[מספר טבעי|טבעיים]] וקטנה מזו של ה[[מספר ממשי|ממשיים]]
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[קורט גדל|גדל]] ו[[פול כהן|כהן]] שהוכיחו כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של [[תורת הקבוצות]].
|-
| style="background:LightGreen" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השנייה של הילברט|בעיה 2]]
| להוכיח שמערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של ה[[אריתמטיקה]] היא [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]]
| [[משפטי האי-שלמות של גדל|משפט האי-שלמות השני של גדל]] מראה ש{{צבע גופן|ירוק|המשימה בלתי אפשרית}} מתוך האריתמטיקה עצמה; [[גרהרד גנצן]] הוכיח את עקביות האריתמטיקה בהתבסס על מערכת אקסיומות שונה, אך ההוכחה אינה [[פיניטיסטית]] (דהיינו הוכחה שכוללת רק הליכים שמתייחסים למספר '''סופי''' של תכונות של נוסחאות, ורק למספר '''סופי''' של פעולות עם הנוסחאות){{הערה|ההגדרה מתוך ארנסט נאגל וג'יימס ניומן, '''משפט גדל''', תרגמו: יעל הרפז רובין ו[[נצה מובשוביץ-הדר]], הוצאת [[הטכניון]], 1993, עמוד 28}} ולכן לא עומדת בקריטריונים של הילברט להוכחה '''מוחלטת''' של עקביות{{הערה|ארנסט נאגל וג'יימס ניומן, '''משפט גדל''', תרגמו: יעל הרפז רובין ו[[נצה מובשוביץ-הדר]], הוצאת [[הטכניון]], 1993, עמוד 86}}.
|-
| style="background:LightGreen" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השלישית של הילברט|בעיה 3]]
| בהינתן שני [[ארבעון|ארבעונים]] מ[[נפח]] זהה, האם בהכרח אפשר לחתוך אחד לכמות סופית של [[פאון|פאונים]] ולהרכיבם מחדש בצורת השני?
| [[מקס דן]] הראה ש{{צבע גופן|ירוק|התשובה שלילית}}, עוד באותה שנה שהוצגה הבעיה ([[1900]]).
|-
| style="background:gold" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה הרביעית של הילברט|בעיה 4]]
| למצוא גאומטריות שבהן האקסיומות קרובות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, תוך שמירה על אקסיומות החילה, החלשת אקסיומות הסדר, וויתור על [[אקסיומת המקבילים]]
| {{צבע גופן|כתום|ניסוחה מעורפל}} מכדי לקבוע אם נפתרה או לא.
|-
| style="background:gold" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה החמישית של הילברט|בעיה 5]]
| האם [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] רציפות הן בהכרח [[חבורת לי|גזירות]]?
| {{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית,}} על ידי [[אנדרו גליסון]], בתחילת [[שנות ה-50 של המאה ה-20|שנות ה-50]].
|-
| style="background:LightCoral" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השישית של הילברט|בעיה 6]]
| ניסוח אקסיומטי של כל החוקים הפיזיקליים
| {{צבע גופן|אדום|פתוחה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השביעית של הילברט|בעיה 7]]
| האם <math>a^b</math> [[מספר טרנסצנדנטי|טרנסצנדנטי]], כאשר ''a'' ≠ 0,1 [[מספר אלגברי|אלגברי]] ו-''b'' אלגברי אי-רציונלי?
| {{צבע גופן|ירוק|תשובה חיובית:}} [[משפט גלפונד-שניידר]].
|-
| style="background:LightCoral" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השמינית של הילברט|בעיה 8]]
|[[השערת רימן]] ובעיות נוספות העוסקות ב[[תורת המספרים]], ביניהן [[השערת גולדבך]] ו[[השערת המספרים הראשוניים התאומים|השערת הראשוניים התאומים]]
| {{צבע גופן|אדום|כל הבעיות פתוחות.}}
|-
| style="background:gold" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה התשיעית של הילברט|בעיה 9]]
| הכללת [[חוק ההדדיות הריבועי]] לכל [[שדה מספרים]]
| {{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית,}} עבור הרחבות אבליות, על ידי [[אמיל ארטין]].
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה העשירית של הילברט|בעיה 10]]
| למצוא [[אלגוריתם]] שייקבע, בהינתן [[משוואה דיופנטית]], האם היא [[משוואה פתירה|פתירה]]
| {{צבע גופן|ירוק|תשובה שלילית:}} לא קיים אלגוריתם שכזה.
|-
| style="background:gold" |
| [[הבעיה האחת-עשרה של הילברט|בעיה 11]]
| פתרון של [[תבנית ריבועית|משוואות ריבועיות במספר משתנים]] עם מקדמים [[מספר אלגברי|אלגבריים]]
| {{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית.}}{{הערה|1=מיכאל הזווינקל, [https://books.google.co.il/books?id=yimXZ-7L9ZoC Handbook of Algebra], מהדורה 6, עמ' 69}}
|-
| style="background:gold" |
| [[הבעיה השתים-עשרה של הילברט|בעיה 12]]
| הכללת [[משפט קרונקר-ובר]] על ה[[הרחבת שדות אבלית|הרחבות האבליות]] של [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] ל[[שדה מספרים]] כלשהו.
|{{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית.}}<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://math.duke.edu/news/mathematicians-find-long-sought-building-blocks-special-polynomials-0|כותרת=Mathematicians find long-sought building blocks for special polynomials|אתר=Department of Mathematics|שפה=en|תאריך_וידוא=2021-12-10}}</ref>
|-
| style="background:LightCoral" |
| [[הבעיה השלוש-עשרה של הילברט|בעיה 13]]
| פתרון משוואות ממעלה שביעית באמצעות פונקציות אלגבריות (גרסה אחרת: [[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפות]]) בשני משתנים
| הגרסה הרציפה נפתרה על ידי [[ולדימיר ארנולד]] בהתבסס על עבודותיו של [[אנדריי קולמוגורוב]], אבל הגרסה האלגברית עודנה {{צבע גופן|אדום|פתוחה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה הארבע-עשרה של הילברט|בעיה 14]]
| האם מערכות שלמות מסוימות של פונקציות הן סופיות?
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[מסיושי נגטה]] ב-[[1958]].
|-
| style="background:gold" |
| [[הבעיה החמש-עשרה של הילברט|בעיה 15]]
| ביסוס מסודר של [[תחשיב שוברט]]
| {{צבע גופן|כתום|נפתרה (לא ברור אם חלקית או לחלוטין).}}
|-
| style="background:LightCoral" |
| [[הבעיה השש-עשרה של הילברט|בעיה 16]]
| מציאה ופיתוח [[טופולוגיה]] של עקומות ומשטחים אלגבריים ממשיים.
| {{צבע גופן|אדום|פתוחה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה השבע-עשרה של הילברט|בעיה 17]]
| הצגת [[פונקציה רציונלית]] חיובית כסכום ריבועים של פונקציות רציונליות
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}}. לחיוב על ידי [[אמיל ארטין]] ב-[[1927]].
|-
| style="background:gold" |
| [[הבעיה השמונה-עשרה של הילברט|בעיה 18]]
| האם יש פאון קמור לא רגולרי שממלא את המרחב?{{ש}}מהו הסידור הטוב ביותר של כדורים במרחב? ([[השערת קפלר]])
| השערת קפלר נפתרה על ידי היילס בשנת 1998 ופורסמה ב-2005{{הערה|{{דוידסון|ד"ר טל קוולר|איך לארוז תפוזים, שלב ההוכחה|sciencenews/איך-לארוז-תפוזים-שלב-ההוכחה|9 ביולי 2017}}}}.
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה התשע-עשרה של הילברט|בעיה 19]]
| האם הפתרונות של [[לגראנז'יאן]] הם תמיד אנליטיים?
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[אניו דה ג'יורג'י]] וכן בנפרד ובמתודולוגיה שונה על ידי [[ג'ון פורבס נאש|ג'ון נאש]] ב-[[1957]].
|-
| style="background:LightGreen" |
| {{ללא גלישה|[[הבעיה העשרים של הילברט|בעיה 20]]}}
| האם לכל הבעיות ב[[חשבון וריאציות]] עם [[תנאי שפה]] מסוימים, יש פתרונות?
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
|[[הבעיה העשרים ואחת של הילברט|בעיה 21]]
|הוכחת קיום של [[משוואה דיפרנציאלית]] ליניארית עם [[חבורת מונודרומיה]] נתונה
|{{צבע גופן|ירוק|נפתרה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה העשרים ושתיים של הילברט|בעיה 22]]
| האחדה של יחסים אנליטיים באמצעות [[פונקציה אוטומורפית|פונקציות אוטומורפיות]]
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה.}}
|-
| style="background:Gold" |
| {{ללא גלישה|[[הבעיה העשרים ושלוש של הילברט|בעיה 23]]}}
| התפתחות נוספת בתחום [[חשבון וריאציות|חשבון הווריאציות]]
| {{צבע גופן|כתום|ניסוחה מעורפל}} מכדי לקבוע אם נפתרה או לא.
|}

== עריכת הרשימה ==
בזמן הכנת רשימת הבעיות עמדו בפני הילברט עשרים וארבע שאלות רשומות, אך הילברט החליט שלא לצרף אחת מהן לרשימתו הסופית. הבעיה הנוספת עסקה בהוכחת השערה הנוגעת לפשטות ושיטות כלליות. בעיה זו התגלתה על ידי ההיסטוריון [[רודיגר תיילה]] (Rüdiger Thiele).

== ראו גם ==
* [[בעיות לנדאו]]
* [[בעיות המילניום של מכון קליי]]

== לקריאה נוספת ==
* [[בנו ארבל]], '''קיצור תולדות המתמטיקה''', [[מכון מופ"ת]], 2005, עמ' 309–325.
<div style="direction:ltr;">
* Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). ''The Hilbert Challenge''. Oxford University Press.
</div>

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [https://web.archive.org/web/20120205025851/http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html המאמר המקורי של הילברט] {{גרמנית}}
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html המאמר המקורי של הילברט, בתרגום לאנגלית]
* [https://web.archive.org/web/20140429080332/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1900/ICM1900.ocr.pdf רשומות הקונגרס של 1900]
* [http://www.ams.org/amsmtgs/2025_abstracts/962-01-285.pdf "על הבעיה ה-24 של הילברט: דיווח על חומר חדש והערות"]
* {{הידען|מגזין מכון ויצמן|שש רגליים על השולחן|six-legs-on-the-table-2711135|3 בדצמבר 2013}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

{{23 הבעיות של הילברט}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:הבעיות של הילברט|*]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות במתמטיקה]]
[[קטגוריה:דויד הילברט]]
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]