הצגת המקור של הדף "L (תורת הקבוצות)"

ב[[תורת הקבוצות]], '''L''' או '''אוסף הקבוצות הניתנות לבנייה''' הוא [[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]] של קבוצות שבנויות באופן אינדוקטיבי בצורה מפורשת יחסית מתוך קבוצות פשוטות יותר. איברי L נקראים הקבוצות הניתנות לבנייה. L הוגדר על ידי [[קורט גדל]] בשנת [[1935]], ש[[הוכחה|הוכיח]] כי הוא [[מודל (לוגיקה מתמטית) | מודל]] של [[אקסיומת הבחירה]] ו[[השערת הרצף]]{{הערה|1=גדל הוכיח את התקיימות אקסיומת הבחירה בשנת [[1935]] ואת השערת הרצף בשנת [[1937]]. הוא פרסם את תוצאותיו בשנת [[1938]]. ראו [http://math.bu.edu/people/aki/13.pdf]}}.

ה[[אקסיומה]] '''[[אקסיומת הבנייה|V=L]]''' אומרת שכל קבוצה ניתנת לבנייה.

== הגדרה ==
המחלקה L מוגדרת באינדוקציה על ה[[מספר סודר|סודרים]], כאשר בכל שלב אנחנו מוסיפים את אוסף כל תתי [[קבוצה גדירה|הקבוצות הגדירות]] מתוך איברים שנמצאים באוסף הנוכחי שלנו, כאשר הגדירות היא במובן של אוסף הקבוצות הנוכחי (ולא של כל היקום). הבניה דומה להיררכיה של [[ג'ון פון נוימן|פון נוימן]] שמכילה את כל הקבוצות, רק שבמקום הפעולה של [[קבוצת החזקה]], אנחנו משתמשים בפעולה עדינה יותר - "קבוצת החזקה הגדירה".

באופן פורמלי:
* <math>L_0 = \emptyset</math>
* <math>L_{\alpha + 1} = \mathcal{D}(L_\alpha)</math> כאשר: 
: <math>\mathcal{D}(A) = \{B \subset A | \exists \psi\,, a_1,\dots a_n \in A\,, B = \{x \in A | 
(A,\in ) \models \psi(x,a_1,\dots,a_n)\}\}</math>

* <math>L_{\alpha} = \bigcup_{\beta < \alpha}L_\beta</math> עבור סודר גבולי.
* <math>L = \bigcup_\alpha L_\alpha</math>

כלומר זהו אוסף כל תתי הקבוצות B של A כך שיש [[נוסחה]] ואיברים מ-A שמגדירים את איברי B בתוך העולם של איברי A.

גדל הציע גם הגדרה שאינה תלויה במושג הגדירות: את <math>L_{\alpha + 1}</math> בונים מתוך <math>L_\alpha \cap \{L_\alpha\}</math> כקבוצה שסגורה תחת אוסף ספציפי של פעולות פשוטות ([[מכפלה קרטזית]], הפעלת [[פונקציה]] וכדומה), והראה ששתי ההגדרות נותנות את אותה מחלקה L. 
== V=L ==
האקסיומה '''V=L''' או [[אקסיומת הבנייה]], גורסת כי המחלקה L מכילה את כל הקבוצות. אקסיומה זו הוצעה על ידי גדל, שהראה גם כי היא עקבית מתוך ZF, כיוון שהמחלקה L עצמה מקיימת אותה. טענה זו משתמשת באבסולוטיות של השייכות ל-L (למשל במחלקה לא אבסולוטית כמו מחלקת הקבוצות הגדירות מתוך סודרים - OD, ייתכן שקבוצה תהיה גדירה מתוך סודרים בעולם V ולא גדירה מתוך סודרים במחלקה OD).

כמו שמתואר בסעיפים הבאים, אקסיומה זו גוררת את [[אקסיומת הבחירה]] במובן חזק (קיים סדר טוב גלובלי), ואת [[השערת הרצף המוכללת]].

== תכונות ==
אפשר להגדיר ב[[אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה]] התאמה חח"ע ועל בין <math>L_\alpha</math> ל-<math>\alpha</math> עבור כל סודר אינסופי, כלומר <math>|L_\alpha| = |\alpha|</math>.

הקבוצה <math>L_\omega</math> היא אוסף כל הקבוצות הסופיות תורשתית (כלומר הקבוצות הסופיות שגם איבריהן סופיים ואיברי-איבריהן סופיים וכו'), כלומר <math>L_\omega = V_\omega</math>. החל משם ההיררכיות מתפצלות (גם אם V=L), משיקולי [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]].

== L הוא מודל של ZFC ==
כל סודר מקיים <math>\alpha \in L_{\alpha + 1}</math>, ולכן המחלקה L מכילה את כל הסודרים. בנוסף, אם המודל ההתחלתי V קיים את [[ZF]] אז גם L מקיים את ZF:

למשל, כדי להראות כי הוא מקיים את [[אקסיומת ההחלפה]] יש להשתמש ב[[עקרון ההשתקפות (תורת הקבוצות)|עקרון ההשתקפות]] (שנכון בכל בנייה מהצורה הזו): כל טענה (מסדר ראשון) שמתקיימת ב-L מתקיימת כבר ב-<math>L_\alpha</math>. לכן, אם נוסחה מגדירה פונקציה - עובדה זו מתקיימת כבר בתחילית כלשהי של L, ונוסיף את הקבוצה הרצויה ל-L בשלב הבא לאחר התחילית הזו.

הבנייה המפורשת של איברי L מאפשרת להגדיר [[סדר טוב]] על כל איבריו על ידי נוסחה קבועה (ראו בהמשך).

אפשר להוכיח כי L הוא '''אבסולוטי''' בין כל זוג מודלים של ZF בעלי אותם סודרים (כלומר כל קבוצה ששייכת ל-L במודל אחד בהכרח נמצאת גם במודל השני ושייכת ל-L שם). לכן, L הוא המודל המינימלי של תורת הקבוצות - כל מודל של ZF מכיל אותו. למעשה, שייכות ל-L והסדר הטוב עליו הם אבסולוטיים גם בין זוגות מודלים שמקיימים מעט מאוד אקסיומות של ZF, מה שמאפשר בניות קומבינטריות רבות ב-L.

=== הסדר הטוב של L ===
נתאר הגדרה אפשרית עבור הסדר הטוב, אותו נסמן ב-<math><_L</math>. נניח כי <math>x,y \in L</math> שונים, ונפריד למקרים:
# נניח <math>x \in L_{\alpha}, y \in L_\beta</math> ואלו הסודרים המינימליים בהם עובדה זו מתקיימת. אם <math>\alpha < \beta</math> אז <math>x <_L y</math> ואם <math>\alpha > \beta</math> אז <math>x >_L y</math>. אחרת נמשיך לסעיף הבא:
# <math>\alpha = \beta = \gamma + 1</math> (הסודר המינימלי בו <math>x \in L_{\alpha}</math> חייב להיות סודר עוקב, לפי הבנייה של L). נבחר מספור קבוע כלשהו של כל הנוסחאות עם מספר כלשהו של פרמטרים, ונסתכל על הנוסחה בעלת המספר הנמוך ביותר שמגדירה את x (עם פרמטרים כלשהם מתוך <math>L_\gamma</math>) והנוסחה בעלת המספר הנמוך ביותר שמגדירה את y. אם הנוסחאות שונות, ומספר הנוסחה של x נמוך יותר אז <math>x <_L y</math> ואחרת <math>x >_L y</math>. אם הנוסחאות שוות נמשיך לסעיף הבא:
# x,y מוגדרים על ידי נוסחה זהה בה מעורבים n איברים של <math>L_\gamma</math>, נניח <math>(a_1,\dots,a_n)</math> עבור x ו-<math>(b_1,\dots,b_n)</math> עבור y. ה-n-יות האלו שונות (כיוון ש-x ו-y שונים). נסתכל על הקואורדינטה הראשונה בה הן שונות, i, ונגדיר <math>x <_L y</math> אם <math>a_i < b_i</math> ואחרת <math>y <_L x</math>.

מתוך הגדרה זו קל לראות כי הסדר הטוב מוגדר בצורה נכונה כבר בתוך כל תחילית של L שמכירה את המספור של הנוסחאות.

נעיר כי כל איבר של L מוגדר על ידי מספר אינסופי של נוסחאות שונות (כיוון שתמיד ניתן להוסיף משתני דמה), ולכן עלינו לקבע את הנוסחה המגדירה את x כבר בשלב השני. בהגדרות אחרות של L ייתכן שיהיה יותר נוח להשתמש בסדר טוב המוגדר באופן שונה.

ניסוח מדויק של הגדרת הסדר הטוב הקנוני מאפשר לחשב כמה הנוסחה המגדירה אותו "מסובכת", במובן של כמה חילופי [[כמת (לוגיקה)|כמתים]] יש בה. מסתבר כי הנוסחה היא מאוד פשוטה - זו נוסחת <math>\Sigma_1</math>, כלומר נוסחה בה כל הכמתים, למעט כמת קיום יחיד, הם חסומים (כלומר מהצורה <math>\forall x \in y,\,\exists x \in y</math>).

בפרט, ב-L קיים סדר טוב על ה[[מספר ממשי|ממשיים]] המוגדר על ידי נוסחה פשוטה. עובדה זו מתרגמת לכך שקיימות ב-L קבוצות פתולוגיות של מספרים ממשיים, למשל קבוצות לא [[מידת לבג|מדידות לבג]], הניתנות להגדרה על ידי נוסחאות פשוטות.

=== השערת הרצף המוכללת ב-L ===
אם V=L, אז לכל סודר <math>\alpha</math> מתקיים כי קבוצת החזקה שלו נוצרת בשלב המינימלי האפשרי: <math>\mathcal{P}(\alpha)\subset L_{\alpha^{+}}</math>, כאשר <math>\alpha^{+}</math> הוא המונה הראשון שגדול ממש מ-<math>\alpha</math>.

ההוכחה לתכונה הזו משתמשת בעובדה שקיימת נוסחה בשפה של תורת הקבוצות שכל מודל שמקיים אותה איזומורפי ל-<math>L_\gamma</math> עבור סודר מסוים או שהוא שווה לכל L. נוסחה זו מורכבת מהטענה "כל קבוצה ניתנת לבנייה" יחד עם האקסיומות הנחוצות לאבסולוטיות של השייכות ל-L. נניח <math>X \subset \alpha, X \in L_\eta</math>, כאשר <math>\alpha < \eta</math> והנוסחה שתוארה קודם מתקיימת ב-<math>L_\eta</math>.

ניקח תת-מודל אלמנטרי של <math>L_\eta</math>, בשפה בגודל <math>|\alpha|</math> שמכילה קבוע עבור כל סודר קטן מ-<math>\alpha</math> וקבוע עבור X, בגודל <math>|\alpha|</math>. זה אפשרי לפי [[משפט סקולם-לוונהיים]]. מודל זה יהיה איזומורפי ל-<math>L_\gamma, |\gamma| = |\alpha|</math>, והאיזומורפיזם ישמר את כל הסודרים מתחת ל-<math>\alpha</math>. לכן X נמצאת כבר בשלב ה-<math>\gamma</math> של הבנייה של L.

בניות דומות ומורכבות יותר משמשות להוכחת תכונות קומבינטוריות רבות בתוך L.

<!-- 
למשל '''סדרת יהלום''' היא סדרת קבוצות <math>\{ A_\alpha \subset \alpha | \alpha < \omega_1\}</math> כך שלכל תת-קבוצה של <math>\omega_1</math>, A קבוצת האינדקסים <math>\{ \alpha < \omega_1 | A\cap \alpha = A_\alpha\}</math> היא [[קבוצת שבת]].

בניית סדרת יהלום (כאשר V=L), נעשית באינדוקציה, כאשר בכל שלב בוחרים את הדוגמה הנגדית הראשונה בסדר הטוב שמוגדר על L. כלומר בשלב ה-i נבחר את הזוג הראשון (A,C) כך ש-A היא תת-קבוצה של i, C הוא [[סל"ח]] ב-i כך שלכל <math>j \in C</math> מתקיים <math>A\cap j \neq A_j</math>.

כעת, אם הסדרה שהתקבלה איננה סדרת יהלום, יש לנו דוגמה נגדית ראשונה (A,C). על ידי לקיחת תת-מודל אלמנטרי מתאים נקבל כי יש סודר <math>\alpha</math> בן מנייה בו המודל חושב ש-<math>(A\cap \alpha, C\cap \alpha)</math> היא הדוגמה הנגדית הראשונה, בשלב <math>\alpha</math>. כיוון שהסדר הטוב על L הוא אבסולוטי - קיבלנו סתירה.
 -->
== קונסטרקטביליות יחסית ==
ניתן להכליל את ההגדרה של L כך שתכלול קבוצה לא ניתנת לבנייה ספציפית, או שמהלך הבנייה יושפע ממנה. הכללות אלו משמשות לבניית מודלים מינימליים (בדומה ל-L), שעדיין מכילים אובייקט מורכב יותר, לא ניתן לבנייה.

נניח כי אנחנו רוצים "להוסיף" את הקבוצה A לעולם L. יש לנו שתי אפשרויות:

האפשרות הראשונה היא להתחיל מ-<math>L_0(A) = tr(A) \cup \{A\}</math> - הסגור הטרנזיטיבי של A, יחד עם A כאיבר, ומשם להמשיך כמו קודם עם פעולת "קבוצת החזקה הגדירה". הסגור הטרנזיטיבי של A הוא קבוצת כל האיברים של A יחד עם קבוצת כל איברי האיברי של A וכו'. אנו צריכים להכליל אותה כדי ש[[אקסיומת ההיקפיות]] תתקיים.

מודל זה, שמסומן ב-L(A)&lrm;, יכול להיות שונה מאוד מ-L. למשל, ייתכן שלא מתקיימת בו [[אקסיומת הבחירה]].

האפשרות השנייה היא להוסיף את A כסימן יחס (חד מקומי) לשפה שלנו, ובהתאם לשנות את מושג הגדירות לגדירות בשפה המורחבת. המודל המתקבל באופן הזה מסומן ב-L[A]&lrm;. בניגוד לבנייה הקודמת, במודל הזה מתקיימת אקסיומת הבחירה, והחל ממונה מספיק גדול - גם השערת הרצף. מצד שני, ייתכן ש-<math>A \notin L[A]</math>.

בנייה זו משמשת להגדרת המודל המינימלי של [[מונה מדיד]] - זהו <math>L[U]</math> כאשר U הוא על-המסנן המתאים למידה.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}



[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]