הצגת המקור של הדף "Testwiki:מיזמי ויקיפדיה/אתר האנציקלופדיה היהודית/מיון נושאים: לוויקי/פאי"

{{פירוש נוסף|נוכחי=קבוע המתמטי '''פַּאי'''}}
[[קובץ:Pi-unrolled slow.gif|270px|ממוזער|פאי שווה ל[[היקף]] של [[מעגל]] ש[[קוטר]]ו 1 (ו[[רדיוס]]ו ½)]]
ב[[מתמטיקה]], '''<math>\ \pi</math>''' (ה[[אות]] ה[[יוונית]] פִּי, או '''[[פאי (אות)|פַּאי]]''' לפי ה[[הגייה]] ה[[אנגלית]]) הוא [[מספר]] [[גודל חסר ממד|טהור]] המייצג את ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] הקבוע (ב[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]]) בין [[היקף]] ה[[מעגל]] ל[[קוטר]]ו. <math>\ \pi</math> הוא [[קבוע מתמטי]] שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה וב[[פיזיקה]]. כבר בזמן הקדום ניסו אנשים לקבוע את היחס בין היקף המעגל לקוטרו. המתמטיקאי היווני אנטיפון, הציע את שיטת החישוב בערך בשנת 430 לפנה"ס, ומאוחר יותר שכלל אותה [[ארכימדס]].

הערך מסומן באות היוונית <math>\ \pi</math> משום שהוא משמש ל[[חישוב]] [[היקף]] [[מעגל]]: האות <math>\ \pi</math> היא הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה '''היקף'''. לראשונה השתמש בסימון זה ה[[מתמטיקאי]] ה[[ויילס|וולשי]] [[ויליאם ג'ונס (מתמטיקאי)|ויליאם ג'ונס]] בחיבורו "תצפית הישגי המתמטיקה" ("Synopsis Palmariorum Matheseos" או "a New Introduction to the Mathematics") שכתב בשנת [[1706]].

<math>\ \pi</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]]. 100 ה[[ספרה|ספרות]] הראשונות של [[השיטה העשרונית|הייצוג העשרוני]] של המספר <math>\ \pi</math> הן:

<div class="mw-content-ltr" dir="ltr" style="text-align: right">3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679</div>

לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק ב[[קירוב]] 3.14.

{{סימון מתמטי}}

== תכונות ==
<math>\ \pi</math> הוא [[מספר אי-רציונלי]], כלומר אינו ניתן לכתיבה כ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שני [[מספר שלם|מספרים שלמים]]. תכונה זו [[הוכחה]] בשנת [[1761]] על ידי [[יוהאן היינריך למברט]].{{הערה|ראו הוכחות בערך [[:en:Proof that π is irrational|Proof that π is irrational]] בו[[ויקיפדיה האנגלית]]}}

בשנת [[1882]] הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] את [[משפט לינדמן]] ממנו נובע ישירות ש־<math>\ \pi</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]].{{הערה|{{cite web|first=Steve|last=Mayer |url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |archive-date=2000-09-29 |title=The Transcendence of π|accessdate=4 November 2007}}}} מהוכחה זו נובע ש־<math>\ \pi</math> אינו ניתן להצגה תוך שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, [[שבר (מתמטיקה)|שברים]] או שורשים שלהם יחד עם [[ארבע פעולות החשבון]]. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה]], לבנות [[ריבוע]] ה[[שוויון (מתמטיקה)|שווה]] בשטחו לעיגול נתון – אחת [[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]].

== חישוב <math>\ \pi</math> ==
[[חישוב]] ערך מדויק יותר ויותר של <math>\ \pi</math> היווה אתגר במשך מאות שנים.

[[קובץ:picalc.png|שמאל|ממוזער|באמצעות [[שיטת המיצוי]] של [[ארכימדס]] ניתן לחשב את ערכו של פאי בכל רמת דיוק רצויה, באמצעות [[מצולע משוכלל|מצולעים משוכללים]] החוסמים ונחסמים על ידי מעגל. בתמונה מוצג מעגל שבתוכו חסום משושה משוכלל, והוא חסום במשושה משוכלל אחר]]
קירובים לפאי היו ידועים עוד ב[[בבל]] וב[[מצרים העתיקה]], אך [[ארכימדס]] הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את <math>\ \pi</math> בכל רמת דיוק שתידרש ([[שיטת המיצוי]]). השיטה מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של [[מצולע]] [[מעגל חסום|החוסם את המעגל]] וגדול מהיקפו של מצולע [[מעגל חוסם|החסום במעגל]]. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של <math>\ \pi</math>. ארכימדס הפעיל את שיטתו על [[משושה]], ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש ב[[מצולע משוכלל|מצולעים משוכללים]]). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה
{{הערה|תוכנה להמחשה מיידית של שיטתו של ארכימדס מופיעה באתר [http://www.math.utah.edu/~alfeld/Archimedes/Archimedes.html Archimedes and the Computation of Pi]}}
(המופיעה בספר [[על המדידה של המעגל]]):

<math>3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}</math>

בתחילת [[המאה ה-15]] חישב [[אל-קאשי]], מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את <math>\ 2\pi</math> בדיוק של 9 ספרות ב[[בסיס סקסגסימלי]], דיוק השקול ל־16 ספרות ב[[בסיס עשרוני]].

ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את <math>\ \pi</math> באמצעות השבר <math>\frac{355}{113}</math>.

בשנת [[1596]] השתמש ההולנדי [[לודולף ואן צאולן]] בשיטתו של ארכימדס, וחישב את <math>\ \pi</math> בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־<math>\ \pi</math> בשם '''מספר לודולף'''.

התפתחות ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] ב[[המאה ה-17|מאה ה־17]] הביאה שיטות חדשות לחישובו של <math>\ \pi</math>. שיטות אלו מתבססות על ייצוגו של <math>\ \pi</math> כסכום של [[טור (מתמטיקה)|טור]] אינסופי.

טכניקה לא שגרתית לחישובו של <math>\ \pi</math> היא "[[שיטת מונטה-קרלו]]": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר [[מעגל חסום]] בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא <math>\ \pi / 4</math>.

הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת [[המחט של בופון]]: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־<math>\ 2/\pi</math>. ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, [[הרוזן בופון]], ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של פאי. הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ה[[הסתברות]].

בשנת [[1789]] חישב הסלובני יורי וגה את 140 הספרות הראשונות של <math>\ \pi</math> (רק 137 מתוכן היו נכונות).

השתכללות ה[[מחשב]]ים ומציאת [[אלגוריתם|אלגוריתמים]] יעילים יותר לחישובו של <math>\ \pi</math> אפשרו ב-2011 את חישובו בדיוק של למעלה מ-{{SN||13}} ספרות. לתוצאות אלו אין כל ערך מעשי, מלבד הפגנת מהירותם של [[מחשב-על|מחשבי־על]] ושל אלגוריתמים.

== קירובים של <math>\pi</math> ==
[[קירוב]] מקובל של <math>\ \pi</math> כ[[שבר (מתמטיקה)#שבר עשרוני|מספר עשרוני]] הוא 3.14. צורת [[שבר (מתמטיקה)|שבר]] פשוטה המקרבת את <math>\ \pi</math>, היא <math>\frac{22}{7}</math> או <math>3\frac{1}{7}</math>. קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של <math>\ \pi</math> בדיוק של שתי [[ספרה|ספרות]] בלבד מימין לנקודה.

ההצגה של פאי כ[[שבר משולב]] פותחת ב־<math>\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]</math>.

הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:

<math>\frac{22}{7},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{104348}{33215},\frac{1043835}{332263},...</math>

(כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר לפאי הוא <math>\frac{22}{7}</math>; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר לפאי הוא <math>\frac{333}{106}</math>; וכן הלאה.)

[[רמנוג'אן]] הציע קירוב מסוג אחר לפאי: <math>\ \sqrt[4]{9^2+\frac{19^2}{22}}</math>. קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של פאי רק בספרה התשיעית מימין לנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא <math>\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>, השווה בערך ל-3.146. קירוב זה סוטה מערך פאי רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא <math>\sqrt{10} - \frac{1}{49}</math> השווה בערך ל-3.1418. קירוב זה סוטה מערך פאי רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא <math>\sqrt[3]{31}</math>, השווה בערך ל-3.1413. קירוב זה סוטה מערך פאי רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

== במקורות היהדות ==
ב[[מקרא]] ב[[ספר מלכים]] א' ({{תנ"ך|מלכים א|ז|כג|ללא=ספר}}) יש התייחסות להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלושה, {{ציטוטון|עַשׂ אֶת הַיָּם מוּצָק עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ ([[קרי וכתיב|כתיב]]: וקוה, וקרי:) וְקָו שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב}}. ההסבר הרווח לאי-הדיוק הניכר הוא שדרכו של המקרא היא [[עיגול (אריתמטיקה)|לעגל מספרים]], כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של <math>\ \pi</math> בזמנם{{הערה|ראו {{אוצר החכמה|[[יהודה קיל]], '''[[דעת מקרא]]'''|כרך י"ג (מלכים א'), פרק ז', פסוק כ"ג|154891|ירושלים תשמ"ט, עמ' קמ"ב, הע' 88, בפירוש השני (הפירוש הראשון אינו עולה עם פשט דברי ה{{בבלי|עירובין|יד|א}})||עמוד=364}}. ראו גם ב{{ספר החינוך|רנח}}. וראו עוד ב'''[[אנציקלופדיה תלמודית]]''', כרך י', ערך הקף, פרק א', ד"ה חשבון, הע' 29-32.}}, או בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. בנוסף, יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר [[ים הנחושת]] היה [[אליפסה|אליפטי]].{{מקור}}

לעומת זאת, [[הגאון מווילנא]] ציין שרמז ליחס בין הקבוע פאי ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נמצא ב[[קרי וכתיב]] של המילה שנכתבת '''קוה''' ונקראת '''קו'''; היחס בין ה[[גימטריה]] של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הוא בקירוב ...1.04716. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי ל'''כתוב''' את המספר המלא של הקבוע פאי, לצורך נוחות ה'''קריאה''' נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות מתוחכמות יותר{{הערה|בועז צבאן ודוד גרבר, [http://www.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/exactpi.pdf ערכים מדויקים של פאי במקורות היהדות]}}.

במשנה ב[[מסכת עירובין]] (פ"א מ"ה) נשנה הכלל: "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", כלומר היקף המעגל הוא פי שלושה מהקוטר (3=<math>\ \pi</math>). כלל זה בא לידי ביטוי גם ב[[מסכת סוכה]] (דף ז'-ח') שם עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם ה[[תוספות]] במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל פאי כשווה ל-3. באופן זה ב[[מסכת בבא בתרא]] (י"ג: – ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת לפאי כשווה ל-3. מפרשים שונים עמדו על הפער בין ה-<math>\ \pi</math> כפי שהוא מנוסח בימינו, לבין שיעור חכמים, וניתנו לכך הסברים שונים{{הערה|[[מרדכי הלפרין]], [https://www.machonso.org/uploads/images/79(1).pdf סוכה העשויה ככבשן, דייני דקיסרי, רבי יוחנן ואמוראי בבל], [[המעין (כתב עת)|המעין]], תשרי תשע"ז (2016)}}

[[בעלי התוספות]], [[אברהם אבן עזרא|ראב"ע]] ו[[ראשונים]] נוספים מפנים ל[[ברייתא]] של מ"ט מידות שבה נמצא ערך מדויק יותר ל-<math>\ \pi</math>. בברייתא ההיא נאמר בין היתר "...לפי שאמרו בני ארץ, בעגולה שהסביבה (ההיקף) מחזקת שלוש פעמים ושביע בחוט (ביחס לקוטר)"{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר = שמעון בולג|שם = הערות לסוגיית הערך המספרי של פאי בספרות התלמודית והפרשנית|כתב עת = 'הגיון' מחקרים בדרכי חשיבה של חז"ל|כרך = ג'|עמ = 92-102|שנת הוצאה = תשנ"ו|מו"ל = הוצאת אלומה, ירושלים}}}}. הרי שאף על פי שייתכן והיה ידוע ערך טוב יותר ל-<math>\ \pi</math>, לא ראו החכמים צורך להתייחס אליו מבחינה הלכתית.

ה[[משה בן מימון|רמב"ם]], בן [[המאה ה-12]], הביא, בפירושו למשנה, דברי מומחי ההנדסה בתקופתו, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב"{{הערה|[[פירוש המשנה לרמב"ם]], [[מסכת עירובין]], א, ה}}. בשפת ימינו ניתן להבין את דבריו של הרמב"ם כמשקפים את הטענה ש־<math>\ \pi</math> הוא מספר אי־רציונלי.

== נוסחאות הקשורות ב־<math>\ \pi</math> == <!-- אין להציג את פאי באמצעות תגית <math> באמצע כותרות מסיבה תוכנית (הטקסט המתמטי לא יופיע בתוכן העניינים) -->
פאי מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעיתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.

=== גאומטריה ===
{| border="0" cellspacing="3" cellpadding="3"
!
!
|-
|[[היקף]] [[מעגל]]
|<math>C = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|[[שטח]] [[עיגול]]
|<math>A = \pi r^2 \,\!</math>
|-
|שטח [[אליפסה]]
|<math>A = \pi a b \,\!</math>
|-
|[[נפח]] [[כדור (גאומטריה)|כדור]]
|<math>V = \frac{4\pi r^3}{3} \,\!</math>
|-
|[[שטח פנים]] של כדור
|<math>A = 4 \pi r^2 \,\!</math>
|-
|נפח [[גליל (גאומטריה)|גליל]]
|<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|שטח פנים של גליל
|<math>A = 2 (\pi r^2) + (2 \pi r) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math>
|-
|נפח [[חרוט]]
|<math>V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\!</math>
|-
|שטח פנים של חרוט
|<math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math>
|}

=== אנליזה מתמטית ===
* [[המכפלה האינסופית של ויאטה|נוסחה של פרנסואה וייט]], [[1593]]:
: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots</math>
* [[נוסחת לייבניץ ל-π|נוסחת גרגורי-לייבניץ]], הקרויה על שם [[ג'יימס גרגורי]] (1638–1675) ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ|וילהלם לייבניץ]]. את הנוסחה גילה גרגורי ב־[[1672]]. היא מופיעה גם בספר Ganita-Yukti-Bhasa שכתב המתמטיקאי ההודי Jyesthadeva במחצית המאה ה־16, והמציג מחקרים שנערכו במרכז המחקר Madhava ב[[קרלה]] שבהודו. הנוסחה קובעת כי
: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
: כלומר:
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left (\frac{1}{2n-1}\right) = \frac{\pi}{4}</math>
: (בהקשר רחב יותר, זהו הערך <math>\ x=1</math> בפיתוח ל[[טור טיילור]] של <math>\ \arctan(x)</math>)
* [[מכפלת ואליס]]:
: <math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>
* נוסחת ה[[אינטגרל]] של [[גאוסיאן]] ([[התפלגות נורמלית]]):
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>
* [[בעיית בזל]] נפתרה לראשונה על ידי [[לאונרד אוילר]] (ראו גם [[פונקציית זטא של רימן]]):
: <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
* [[פונקציית גמא]] (המהווה הכללה של פונקציית ה[[עצרת]]) בנקודה 1/2:
: <math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
* [[נוסחת סטירלינג]] המשמשת לקירוב עצרת של מספרים גדולים:
: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
: (מוכיחים את הטענה על ידי פיתוח [[אסימפטוטה|אסימפטוטי]] של [[פונקציית גמא]])
* [[זהות אוילר]] המתבססת על [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] (שנקראה על ידי [[ריצ'רד פיינמן]] "הזהות המופלאה ביותר במתמטיקה", ומקשרת בין חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים):
: <math>e^{\pi i} + 1 = 0\;</math>
* שטחו של רבע מעיגול היחידה:
: <math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}</math>
* אינטגרל לא אמיתי נוסף:
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \pi</math>

=== [[אנליזה מרוכבת]] ===
* יישום של [[משפט השאריות]]:
: <math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i</math>

=== פיזיקה ===
* זמן המחזור של [[מטוטלת מתמטית]] הוא <math>\mbox{Time} = 2 \pi \sqrt{\frac{\mbox{length}}{\mbox{gravity}} } </math>
* [[קבוע פלאנק]] h הוא [[קבוע פיזיקלי]] שהוצג על ידי [[מקס פלאנק]] ומאפיין את [[מכניקת הקוונטים|העולם הקוונטי]]. בפועל, מקובל יותר השימוש ב[[קבוע דיראק]] (קבוע פלאנק המצומצם) שמוגדר להיות <math>\hbar = \frac{h}{2\pi}</math> (מבוטא "h-באר").

=== שברים משולבים ===
אפשר להציג את פאי באמצעות [[שבר משולב|שברים משולבים]] רבים, בהם:

: <math>
{\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\cfrac{13^2}{6+\cfrac{15^2}{6+\ddots}}}}}}}}}
</math>

: <math>
{\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{13+\cfrac{7^2}{15+\ddots}}}}}}}}}
</math>

<math>\frac{4}{\pi}=1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}
{2+\cfrac{11^2}{2+\cfrac{13^2}{2+\cfrac{15^2}{2+\cfrac{17^2}{2+\ddots}}}}}}}}}</math>

=== תורת המספרים ===
בתורת המספרים יש קשר בין פאי לבין מספר תוצאות:
* [[מספרים זרים#ההסתברות ששני מספרים יהיו זרים|ההסתברות ששני מספרים אקראיים יהיו זרים]] זה לזה היא <math>\ 6/\pi^2</math>.
* ההסתברות שמספר אקראי יהיה ללא אף מחלק ריבועי היא <math>\ 6/\pi^2</math>.
* מספר הדרכים ה[[ממוצע]] שבהן ניתן לכתוב [[מספר טבעי]] כסכום של שני מספרים ריבועיים הוא <math>\ \pi/4</math>.

כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף ל[[אינסוף]].

==בעיות פתוחות==
בחקר מאפייניו של <math>\ \pi</math> מתקיימות [[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיות פתוחות]] אחדות. הבולטת שבהן היא השאלה האם <math>\ \pi</math> הוא [[מספר נורמלי]] – [[מספר ממשי]] שה[[ספרה|ספרות]] שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש [[התפלגות אחידה|הסתברות שווה]] להופיע. הידע בסוגיה זו מצומצם ביותר, ובין השאר לא ידוע האם בייצוג העשרוני של <math>\ \pi</math> כל אחת מהספרות 0,…,9 מופיעה אינסוף פעמים. בשנת 2000 הראו [[דייוויד ביילי]] ו[[ריצ'רד קרנדל]] ששאלת הנורמליות של <math>\ \pi</math> ב[[בסיס בינארי]] שקולה ל[[השערה (מתמטיקה)|השערה]] ידועה ב[[תורת הכאוס]].

בעיה פתוחה נוספת היא השאלה האם הקבוצה <math>\,\{\pi,e\}</math> [[אי תלות אלגברית|תלויה אלגברית]] מעל [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]].
ב-[[1996]] הוכיח [[יורי נסטרנקו]] כי הקבוצה <math>\{\pi,e^{\pi},\Gamma(\frac{1}{4})\}</math> היא בלתי תלויה אלגברית מעל <math>\,\mathbb{Q}</math>.

== הצעות לסימון חלופי ==
מתמטיקאים ומדענים שונים סברו שבמקום להשתמש ב- <math>\ \pi</math> כקבוע המעגל היסודי, יש להעדיף למטרה זו את <math>\ 2\pi</math> כדי לפשט ביטויים מתמטיים ואת השימוש ב[[רדיאנים]]. המתמטיקאי הצרפתי ארמן לורן נהג לכתוב משוואות בהן <math>\ 2\pi</math> משמש כסמל אחד. בשנת [[2001]] המתמטיקאי האמריקאי רוברט פלאיס הציע להשתמש בסימן <math>\pi\!\;\!\!\!\pi = 2 \pi</math> לייצוג סיבוב אחד{{הערה|R. Palais, [http://www.math.utah.edu/%7Epalais/pi.pdf 2001: Pi is Wrong], "The Mathematical Intelligencer", Volume 23, Number 3, pp. 7–8}}. תחת זאת, בשנת [[2010]] הציע הפיזיקאי מייקל הארטל את האות היוונית [[τ|<math>\tau</math>]] (לציון Turn){{כ}}{{הערה|Michael Hartl, [http://tauday.com/tau-manifesto The Tau Manifesto], 28/6/2010}}. וראו גם סרטון של וי הארט בנושא{{הערה|Vi Hart, [http://www.youtube.com/watch?v=jG7vhMMXagQ 2011: Pi is (still) Wrong], YouTube}}.

== <math>\ \pi</math> בתרבות ==
קיימים משפטים שונים המשתמשים כ[[מנמוניקה|עזרי זיכרון]] עבור ערכו של <math>\ \pi</math>, בכך שמספר האותיות בכל מילה שלהם שווה לספרה המתאימה של <math>\ \pi</math>, למשל זה של המדען האנגלי [[ג'יימס ג'ינס]]:
{{ציטוט|מרכאות=כן|אנגלית=כן
|מקור={{מימין לשמאל|[http://mathworld.wolfram.com/PiWordplay.html Pi Wordplay], באתר mathworld.wolfram.com}}
|תוכן=How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
}}

(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי כמובן, אחרי ההרצאות המתישות על [[מכניקת קוונטים]]).

יש החוגגים את [[14 במרץ]] (שנרשם בצורת כתיבת התאריכים הנהוגה ב[[ארצות הברית]] כ־3.14) כ"'''[[יום פאי]]'''", ואחרים חוגגים ביום קירוב פאי ב-[[22 ביולי]] (מכיוון שתוצאת החילוק של 22 ב-7 היא בקירוב 3.1429, מעט קרובה יותר ל-<math>\ \pi</math> מאשר 3.14). מהדרי ה[[חג]] חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159).

ביום פאי בשנת [[2004]], קבע [[תסמונת סוואנט|הגאון האוטיסט]] [[דניאל טאמט]] שיא [[אירופי]] בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה־22,514 שלו. [[שיא גינס]] בדקלום פאי שייך לרג'וויר מינה מהודו שב-[[21 במרץ]] [[2015]] דקלם ללא שגיאה 70,000 ספרות במשך 9 שעות ו-27 דקות{{הערה|[http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised Most Pi places memorised], באתר [[ספר השיאים של גינס]]}}.

[[חמשיר]]ים אחדים חוברו לכבודו של פאי, הנה אחד מהם:
<poem>
{{ltr|
'Tis a favorite project of mine
A new value of pi to assign.
I would fix it at 3;
For it's simpler, you see,
Than 3 point 1 4 1 5 9 !
}}
</poem>

ב־[[1998]] הופק סרט בשם "Pi".

[[דונלד קנות]], [[מדען מחשב|מדען המחשב]] הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת [[TeX]] כך שיילכו ויתקרבו ל־<math>\ \pi</math>: גרסה 3, גרסה 3.1, גרסה 3.14 וכו'. הגרסה הנוכחית היא 3.14159265.

"'''נקודת פיינמן'''" הוא כינוי למקומות מספר 763 עד 768 בפיתוח העשרוני של פאי. כל המקומות האלו מכילים את הספרה 9. משערים שפאי הוא [[מספר נורמלי]] (דהיינו, הספרות בפיתוח העשרוני שלו מופיעות באופן אקראי כביכול), ואם כך אז הפיתוח העשרוני שלו כולל כל רצף ספרות סופי. עם זאת, מפתיע למצוא שש ספרות זהות רצופות בשלב כה מוקדם של הפיתוח. לשם השוואה, הרצף הדומה הבא, ששה מופעים רצופים של הספרה 8, מתחיל בספרה ה־222,299. השם "נקודת פיינמן" ניתן בעקבות משאלה של ה[[פיזיקה|פיזיקאי]] [[ריצ'רד פיינמן]], לזכור בעל־פה את הפיתוח העשרוני של פאי עד לשלב שבו יוכל לומר "... תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, וכן הלאה", ובכך לרמוז באופן היתולי שפאי הוא [[מספר רציונלי]].

הזמרת [[קייט בוש]] הוציאה שיר בשם "<math>\ \pi</math>" כחלק מהתקליט "אריאל". בשיר היא מונה את הספרות מהספרה הראשונה ועד הספרה ה־137, אך מדלגת על הספרות במקומות 79–100.

בספר הבדיוני "מגע" שכתב [[קרל סייגן]] מוזכרת עובדה בדויה שב[[בסיס ספירה|בסיס]] 11, הספרות של פאי (החל ממקום מרוחק מאד) מתארות מעגל גדול הנתפס כמסר מבורא העולם.

באוקטובר [[2014]] פורסם סרטון בערוץ [[יוטיוב]] "Numberphile"{{הערה|Brady Haran, [https://www.youtube.com/watch?v=0r3cEKZiLmg Mile of pi], Numberphile channel, [[יוטיוב|YouTube]] website}} עם שבירת שיא העולם בהדפסת ספרותיו של פאי על נייר באורך 1,688 [[מטר]]ים (שקול בערך למייל אחד). כמות הספרות עמדה על 1,000,000 ספרות שהודפסו בעזרת 8 מיליליטר של [[דיו]] בלבד ושתי ספרות נוספות שנכתבו בעט. לשיא אין משמעות מתמטית.

== ראו גם ==
* [[הצעת חוק פאי]]
* [[יום פאי]]
* [[קבוע הפרבולה האוניברסלי]]

== לקריאה נוספת ==
{{ltr|
* J. Borwein and P. Borwein, 1987. '''Pi and the AGM''' (במיוחד פרק 11)
}}

'''על פאי במקורות היהדות'''
* הערך "היקף", ב'''[[אנציקלופדיה תלמודית]]''', כרך י.
* ראו במאמרים הבאים (מ[[כתב עת תורני|כתבי עת תורניים]]):
** {{מאמר|צבי שפטלר|ה"פאי" החז"לי|תחומין|י"ט|תשנ"ט|456-466|רמבי=000233710}}
** {{מאמר|בעז צבן|על היחס שבין היקף עיגול לקוטרו|סיני (כתב עת)|קי"ז|כסלו-טבת תשנ"ו|קפו-קצא|רמבי=000169096}}
** {{מאמר|שמעון בולג|הערות לסוגיית הערך המספרי של pi בספרות התלמודית והפרשנית|הגיון (כתב עת)|ג'|תשנ"ו|92-102|רמבי=000156145}}
** {{מאמר|בעז צבן|כל שיש בהיקפו|הגיון (כתב עת)|ג'|תשנ"ו|103-131|רמבי=000156146}}
* רבי [[שמעון בן צמח דוראן]] (1361 − 1444), [[שו"ת]] תשב"ץ, חלק א' סימן קס"ה (מהדורת למברג, תרנ"א 1891, [http://www.hebrewbooks.org/pdfpager.aspx?req=1381&st=&pgnum=129 דפים ס"א − ס"ג])
* [[ירון ידען]], [http://daatemet.org.il/articles/article.cfm?article_id=12&lang=he ידיעת חכמים בערך הפאי] באתר [[דעת אמת]], אדר א, תש"ס.

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Pi|שם ויקישיתוף=פאי||ויקיטקסט=פאי|שם ויקיטקסט=פאי בדיוק של מיליון ספרות לאחר הנקודה|ויקימילון=פאי}}
* רן לוי, [http://odyssey.org.il/files/pdf/issue1/12.pdf מספר הפלא – המסע המרתק אחר הקבוע המפורסם ביותר במדע: ממצרים, דרך יוון, ימי הביניים, הרנסאנס ועד ימינו], כתב העת '''[[אודיסאה (כתב עת)|אודיסאה]]''', גיליון 1, עמ' 38–40, 25 באוגוסט 2014
* Jon McLoone, [http://blog.wolfram.com/2011/06/30/all-rational-approximations-of-pi-are-useless All Rational Approximations of Pi Are Useless], [http://www.wolfram.com Wolfram] Blog, June 30, 2011
* [https://web.archive.org/web/20061013024650/http://uzweb.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pimnem.htm עזרי זיכרון של פאי] (עותק דף שמור מתוך [[ארכיון האינטרנט]])

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{מספרים אי-רציונליים}}

[[:קטגוריה:קבועים מתמטיים]]
[[:קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה]]
[[:קטגוריה:מספרים טרנסצנדנטיים]]
[[:קטגוריה:מעגל]]
[[:קטגוריה:אנציקלופדיה - ערכים מומלצים לשעבר]]
[[:קטגוריה:פאי|*]]