אי-שוויון ברנולי

המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור $n=3$

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ לכל מספר שלם $n\ge 0$ ולכל מספר ממשי $x>-1$. יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה ${(1+\frac{1}{n})}^n$ עולה בזמן שהסדרה ${(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי $e=2.718\dots$, כגבולן המשותף.

תחולה

האי-שוויון נכון לכל $n$ ממשי, ובלבד ש-$n\ge 1$ (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר $n$ טבעי זוגי האי-שוויון נכון לכל $x$, וכאשר $n$ אי-זוגי הוא נכון לכל $x>-2$ (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה

עבור $x>0$ אפשר להוכיח על פי נוסחת הבינום של ניוטון:

$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})1^{n-k}{x}^k\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})1^n{x}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})1^{n-1}{x}^1=1+nx$

את המקרה הכללי (כלומר $x>-1$) ניתן להוכיח באינדוקציה:

עבור $n=1$ מתקיים: $(1+x{)}^1=1+x\ge 1+x$. נניח את נכונות האי-שוויון עבור $n=k$, ונוכיח את נכונותו עבור $n=k+1$. כלומר נניח כי $(1+x{)}^k\ge 1+kx$ ונוכיח כי $(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x$. נשים לב כי $x>-1$ ולכן $1+x>0$. מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: $(1+x)(1+x{)}^k\ge (1+x)(1+kx)$, ומכאן $(1+x{)}^{k+1}\ge 1+kx+x+k{x}^2$. הביטוי $k{x}^2$ חיובי ולכן מתקיים: $(1+x{)}^{k+1}\ge 1+kx+x+k{x}^2\ge 1+kx+x=1+(k+1)x$.

הכללה

לכל חזקה ממשית $r$ ניתן להכליל את האי-שוויון כך שלכל $r\notin (0,1)$ ולכל $x>-1$

$(1+x{)}^r\ge 1+rx$

ולכל $r\in [0,1]$

$(1+x{)}^r\le 1+rx$

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld