תנועה מעגלית

כיווני המהירות והתאוצה בתנועה מעגלית

בפיזיקה, תנועה מעגלית (או תנועה סיבובית) היא תנועה של עצם דו או תלת-ממדי במסלול מעגלי, סביב נקודה או סביב ציר סיבוב. עצם המסתובב סביב מרכז המסה שלו נקרא מסתובב סביב עצמו או סביב צירו. תנועה מעגלית נפוצה מאוד בטבע. דוגמאות למערכות המתוארות על ידי תנועה מעגלית: לוויין המקיף את כדור הארץ, מסה מסתובבת הקשורה לחוט מתוח, מטען חשמלי בשדה מגנטי וכוס שמסתובבת, אפילו כשמסובבים אותה בעוצמה חלשה מאוד.

תנועה מעגלית קצובה

תנועה מעגלית קצובה היא תנועה בה גודל המהירות לא משתנה אלא רק הכיוון שלה. מאחר שמהירות היא גודל וקטורי, תנועה זו איננה תנועה שוות מהירות. תבנית:ש המהירות הזוויתית של הגוף היא קבועה: $\omega =\frac{d\theta }{dt}=\frac{2\pi }{T}$, כאשר T הוא זמן המחזור של התנועה. כמו כן, המהירות הקווית של הגוף, שכיוונה משיק למעגל, קבועה והיא: $v=\frac{d(\theta R)}{dt}=\frac{2\pi R}{T}=\omega R$.תבנית:ש גודל התאוצה המקיימת תנועה מעגלית קצובה הוא $a_R={\omega }^{2}R=\frac{v^2}{R}$ וכיוונה כלפי ציר הסיבוב (מרכז המעגל). תאוצת הגוף אנכית למהירותו, כך שגודל המהירות בכיוון המשיק למעגל אינה משתנה, אלא רק כיוונה. מהחוק השני של ניוטון נובע שגודל הכוח הדרוש לשמור על תנועה מעגלית קצובה הוא: $F_r=m{a}_R=m(\ddot{r}-r(\dot{\theta }{)}^2)=m{\omega }^{2}R=\frac{m{v}^2}{R}$. תבנית:שכיוונו ככיוון התאוצה, כלומר לכיוון מרכז המעגל, והוא נקרא כוח צנטריפטלי. היות שהכח השקול פועל בניצב למהירות הגוף, הוא אינו מבצע עבודה והאנרגיה נשמרת.
ההעתק הזוויתי שעבר הגוף לאחר זמן t הוא: $\theta =2\pi \frac{t}{T}=\omega t$.

תנועה מעגלית שאינה קצובה

אנימציה של תנועה מעגלית שאינה קצובה - מטוטלת אנכית המבצעת תנועה מעגלית שאינה קצובה בהשפעת כוח הכבידה. הגרף למעלה מראה את המהירות המשתנה של המשקולת.

תנועה מעגלית מתאפשרת גם כאשר גודל המהירות אינו קבוע. דוגמה לתנועה מסוג זה היא תנועת מטוטלת אנכית בהשפעת כח הכבידה.תבנית:ש בתנועה זו המהירות הזוויתית $\omega (t)=\frac{d\theta }{dt}$ משתנה ולכן קיימת תאוצה זוויתית: $\alpha =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$.תבנית:שלכן, גודל המהירות הזוויתית הוא $\omega (t)={\omega }_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\alpha (t^{\prime })d{t}^{\prime }$ ובפרט כאשר התאוצה הזוויתית קבועה: $\omega (t)={\omega }_0+\alpha t$.תבנית:שגודל המהירות הקווית, שכיוונה משיק למעגל, משתנה בזמן: $v=\omega (t)R$.תבנית:ש תאוצת הגוף בתנועה זו מורכבת מרכיב רדיאלי: $a_R=\omega (t{)}^{2}R$ המשנה את כיוון המהירות המשיקית ומרכיב משיקי: $a_T=\dot{\omega }R$ המשנה את גודל המהירות המשיקית.תבנית:ש באותו אופן, הכח השקול הפועל על הגוף הנע גם כן שווה לסכום וקטורי של שני רכיבים - רכיב רדיאלי המכוון למרכז המעגל, האחראי על קיום התנועה המעגלית ועל השינוי בכיוון מהירות הגוף; ורכיב משיקי, האחראי על השינוי במהירות הגוף.

תיאור מתמטי

המחשה ויזואלית לנוסחאות

תיאור בקואורדינטות קוטביות

נוח לתאר תנועה מעגלית בקואורדינטות קוטביות (על ידי הגדלים r ו-θ), כך שהגוף נמצא במרחק R קבוע ממרכז המעגל ונטוי בזווית משתנה $\theta (t)$ יחסית לציר מסוים.תבנית:ש על מנת למקם את הגוף במישור נעזר בווקטורי היחידה הפולריים המשתנים בזמן: תבנית:ש

$\begin{array}{ccccc}\hat{r}(t)={\hat{e}}_r(t)& =& \cos (\theta (t))\hat{x}& +& \sin (\theta (t))\hat{y}\\ \hat{\theta }(t)={\hat{e}}_{\theta }(t)& =& -\sin (\theta (t))\hat{x}& +& \cos (\theta (t))\hat{y}\end{array}$תבנית:ש

לפיכך, וקטור היחידה $\hat{r}(t)$ כיוונו ממרכז המעגל כלפי הגוף, כלומר כיוונו הוא רדיאלי, ווקטור היחידה $\hat{\theta }(t)$ כיוונו הוא ככיוון המשיק למעגל, כלומר כיוונו משיקי.תבנית:ש וקטור המיקום $\overrightarrow{r}(t)$ הוא וקטור ממרכז המעגל למיקום הגוף ברגע t:

$\overrightarrow{r}(t)=R\hat{r}(t)$

המהירות היא נגזרת וקטור המיקום לפי הזמן: תבנית:ש

$\overrightarrow{v}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}(t)=\frac{dR}{dt}\hat{r}+R\frac{d\hat{r}}{dt}$תבנית:ש

מכיוון שרדיוס התנועה R קבוע, נגזרתו שווה לאפס, לעומתו וקטור הכיוון $\hat{r}(t)$ משתנה בזמן:תבנית:ש

$\frac{d\hat{r}}{dt}=-\frac{d\theta }{dt}\sin \theta \hat{x}+\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \hat{y}=\frac{d\theta }{dt}(-\sin \theta \hat{x}+\cos \theta \hat{y})=\frac{d\theta }{dt}\hat{\theta }$תבנית:ש

נגדיר מהירות זוויתית $\omega (t)$ כשינוי של הזווית לפי הזמן: $\omega (t)=\frac{d\theta }{dt}$ ולכן: $\frac{d\hat{r}}{dt}=\omega (t)\hat{\theta }$.תבנית:ש וקטור המהירות המתקבל הוא: $\overrightarrow{v}=\omega (t)R\hat{\theta }$תבנית:ש כלומר, לגוף אין מהירות בכיוון הרדיאלי אלא רק בכיוון המשיקי, את מהירות זו נכנה המהירות המשיקית ונסמנה $v$ כך ש-$v=\omega (t)R$.תבנית:ש התאוצה היא נגזרת וקטור המהירות לפי הזמן: תבנית:ש

$\overrightarrow{a}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{v}(t)=\frac{d\omega }{dt}R\hat{\theta }+\omega (t)R\frac{d\hat{\theta }}{dt}$תבנית:ש

נחשב את הנגזרת של $\hat{\theta }(t)$: תבנית:ש

$\frac{d\hat{\theta }}{dt}=-\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \hat{x}-\frac{d\theta }{dt}\sin \theta \hat{y}=-\frac{d\theta }{dt}(\cos \theta \hat{x}+\sin \theta \hat{y})=-\frac{d\theta }{dt}\hat{r}=-\omega (t)\hat{r}$תבנית:ש

נגדיר תאוצה זוויתית $\alpha$ כשינוי של המהירות הזוויתית לפי הזמן: $\alpha =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$.תבנית:ש וקטור התאוצה המתקבל הוא: $\overrightarrow{a}=-\omega (t{)}^{2}R\hat{r}+\alpha R\hat{\theta }$ תבנית:ש כלומר, לגוף יש תאוצה שכיוונה כלפי מרכז המעגל וגודלה $a_R=\omega (t{)}^{2}R$, שגורמת לשינוי בכיוון המהירות המשיקית ותאוצה משיקית שגודלה $a_T=\alpha R$, שגורמת לשינוי בגודל המהירות המשיקית.תבנית:ש כמו כן, מתוך המשוואה הדיפרנציאלית: $d\theta =\omega (t)dt$, ניתן לבטא את ההעתק הזוויתי של הגוף: $\theta (t)={\theta }_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\omega (t^{\prime })d{t}^{\prime }$.

לסיכום, מתקבלות שלוש משוואות המתארות תנועה בקואורדינטות פולריות. הראשונה, וקטור המיקום: $\overrightarrow{r}=r\hat{r}$, השנייה, וקטור המהירות: $\overrightarrow{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta }=\dot{r}\hat{r}+r\omega \hat{\theta }$, והשלישית וקטור התאוצה: $\overrightarrow{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\hat{\theta }=(\ddot{r}-r{\omega }^2)\hat{r}+(2\dot{r}\omega +r\alpha )\hat{\theta }$, כאשר:

• $\overrightarrow{r}$וקטור המיקום
• $r$מייצג את המרחק מראשית הצירים שהגדרנו
• $\hat{r}$וקטור יחידה בכיוון $r$
• $\stackrel{}{\dot{}}$מייצג את נגזרות הגודל מעליו הוא נמצא (נקודה אחת מסמלת נגזרת ראשונה, ושתי נקודות, את הנגזרת השנייה)
• $\hat{\theta }$וקטור יחידה בכיוון $\theta$
• $\overrightarrow{v}$וקטור המהירות
• $\omega$המהירות הזוויתית
• $\overrightarrow{a}$וקטור התאוצה
• $\alpha$התאוצה הזוויתית

שימוש במספרים מרוכבים

ניתן לתאר תנועה מעגלית בעזרת שימוש במספרים מרוכבים, כאשר ציר $x$ יבטא את הציר הממשי וציר $y$ יבטא את הציר המדומה, כך שמיקום הגוף המסתובב יתואר על ידי "וקטור" מרוכב $z$.

$z=x+iy=R(\cos [\theta (t)]+i\sin [\theta (t)])=R{e}^{i\theta (t)}$

כאשר $i$ הוא היחידה המדומה ו $\theta (t)$ זו הזווית של המספר המרוכב כפונקציה של הזמן, $t$. מכיוון שגודל הרדיוס קבוע:

$\dot{R}=\ddot{R}=0$

כאשר dot מציין לגזירה לפי הזמן. המהירות תהיה:

$v=\dot{z}=\frac{d\left(R{e}^{i\theta [t]}\right)}{dt}=R\frac{d\left(e^{i\theta [t]}\right)}{dt}=R{e}^{i\theta (t)}\frac{d(i\theta [t])}{dt}=iR\dot{\theta }(t)e^{i\theta (t)}=i\omega R{e}^{i\theta (t)}=i\omega z$

והתאוצה תהיה:

$\begin{array}{ccc}a& =\dot{v}=i\dot{\omega }z+i\omega \dot{z}=(i\dot{\omega }-{\omega }^2)z& =i\dot{\omega }z-{\omega }^{2}z.\end{array}$

כך שכמו שכבר ראינו כיוון וקטור המהירות מאונך לכיוון ווקטור המיקום, ובמידה והמהירות הזוויתית משתנה בזמן אז ישנה תאוצה משיקית בנוסף על התאוצה צנטריפטלית.

תנועה מעגלית כתופעה מחזורית

תנועה מעגלית קצובה היא תופעה מחזורית והיא מתאפיינת בזמן מחזור T (פרק הזמן בו מבצע הגוף מחזור שלם) ובתדירות f (מספר המחזורים בשנייה): $T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{1}{f}$

במקרה של תנועה מעגלית קצובה, התדירות הזוויתית, המוגדרת $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$, שווה למהירות הזוויתית $\omega =\frac{v}{R}$.

ראו גם

• מהירות זוויתית
• מומנט כוח
• מומנט התמד
• קואורדינטות קוטביות
• מספרים מרוכבים

קישורים חיצוניים

• תבנית:דוידסון