אי-שוויון המשולש האינטגרלי

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

המשפט

משפט: אם $f$ היא פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ אזי מתקיים $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x$.

הערה: ניתן להוכיח כי אם $f$ אינטגרבילית בקטע $[a,b]$, אז גם $|f|$ אינטגרבילית שם.

הוכחה

מהגדרת הערך המוחלט, לכל $x\in [a,b]$ מתקיים $-|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|$,

ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק ש- $\underset{a}{\overset{b}{\int }}-|f(x)|\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x$.

מליניאריות האינטגרל נקבל ש- $-\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x$. תבנית:שבסה"כ קיבלנו כי $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x$.