כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה

כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה) הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות הנקרא על שמו של גוטפריד וילהלם לייבניץ.

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות: $(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ לכל שתי פונקציות $f,g$, או בסימוני לייבניץ:

$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}$

מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים:

$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$

הוכחה

ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:

$\begin{array}{cc}(f\cdot g{)}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)[f(x+h)-f(x)]+f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)+\underset{h\to 0}{\lim }f(x)\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\end{array}$

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי:תבנית:ש לכל שתי פונקציות חיוביות $f,g$ מתקיים $\ln (f\cdot g)=\ln (f)+\ln (g)$.תבנית:ש אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:

$\frac{(f\cdot g{)}^{\prime }}{fg}=\frac{f^{\prime }}{f}+\frac{g^{\prime }}{g}$

הכללות

גזירה חוזרת

לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-$n$-ית:

$(f\cdot g{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$

כאשר $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ הוא המקדם הבינומי. הביטוי דומה מאוד לתבנית:ה:

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$

הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה, ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.

מכפלה של כמה פונקציות

ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:

$(uvw{)}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }$

$(uvwz{)}^{\prime }=u^{\prime }vwz+u{v}^{\prime }wz+uv{w}^{\prime }z+uvw{z}^{\prime }$

באופן כללי, אם הפונקציה היא $f(x)=\prod _{i=1}^n{f}_i(x)$ הנגזרת היא:

$f^{\prime }=\sum _{i=1}^n{f_i}^{\prime }\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k=1}{k\ne i}}^n{f}_k$

אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-$0$, אפשר לכתוב זאת גם כך:

$\frac{(f_1\cdots f_n{)}^{\prime }}{f_1\cdots f_n}=\frac{{f_1}^{\prime }}{f_1}+\cdots +\frac{{f_n}^{\prime }}{f_n}$

ראו גם

• נגזרת
• אינטגרציה בחלקים

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld
• תבנית:בריטניקה