מודול נתרי

באלגברה מופשטת, מודול נתרי הוא מודול $M$ המקיים את תנאי השרשרת העולה (ACC) על הסדר החלקי של יחס ההכלה על תת-המודולים שלו.

תנאי זה שקול להגדרות הבאות לנתריות של מודול $M$:

• בכל תת-קבוצה לא ריקה של תת-מודולים של $M$ יש איבר מקסימלי (ביחס להכלה).
• כל תת-מודול של $M$ נוצר סופית.

היסטוריה

דויד הילברט היה המתמטיקאי הראשון שהשתמש בתכונות של תת-מודולים נוצרים סופית. הוא הוכיח את משפט הבסיס של הילברט שעל פיו כל אידיאל בחוג הפולינומים ב-$n$ משתנים מעל שדה כלשהו נוצר סופית. למרות זאת, התכונה נקראת על שם אמי נתר.

תכונות

חוג נתרי הוא חוג שהוא מודול נתרי כמודול מעל עצמו. מעל חוג נתרי, כל מודול נוצר סופית הוא מודול נתרי.

לכל תת-מודול $K$ של מודול $M$, המודול $M$ נתרי אם ורק אם $K$ ו-$M/K$ נתרים (למרות שתת-מודול של מודול נוצר סופית אינו בהכרח נוצר סופית).

כל מודול נתרי (או ארטיני) אפשר לפרק לסכום ישר סופי של מודולים אי-פרידים (כאלו שאי אפשר לפרק אותם לסכום ישר). אם המודול בעל אורך סופי, אז הפירוק יחיד עד כדי סדר (משפט קרול-רמק-שמידט).

ראו גם

• מודול ארטיני

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld