רדיקל של אידיאל

בתורת החוגים, הרדיקל של אידיאל $A$ בחוג $R$ הוא החיתוך של כל האידיאלים הראשוניים המכילים את $A$. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל כולל את כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם שייכת ל-$A$, ועל-כן מסמנים את הרדיקל של $A$ בסימון $\sqrt{A}$. הרדיקל הוא אידיאל בעצמו, ותמיד $A\subseteq \sqrt{A}$.

הרדיקל של כל אידיאל הוא אידיאל רדיקלי, כלומר שווה לרדיקל של עצמו. כל אידיאל ראשוני הוא רדיקלי, אבל ההפך אינו נכון ($6\mathbb{Z}$ רדיקלי אבל אינו ראשוני).

הקשר בין אידיאלים רדיקליים של חוג הפולינומים $F[{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n]$ לבין יריעות אלגבריות הוא אחד הרעיונות היסודיים בגאומטריה אלגברית (ראו גם - משפט האפסים של הילברט).

תכונות

• אם $I,J$ אידיאלים בחוג $R$ ו-$I\subseteq J$, אז $\sqrt{I}\subseteq \sqrt{J}$.
• לכל שני אידיאלים $I,J$ מתקיים $\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$.

דוגמאות

• בחוג השלמים, הרדיקל של האידיאל $n\mathbb{Z}$ נוצר על ידי הרדיקל של $n$: מכפלת הראשוניים השונים המחלקים את $n$. לדוגמה, $\sqrt{180\mathbb{Z}}=30\mathbb{Z}$. מושג הרדיקל של אידיאל מכליל, לפיכך, את הרדיקל של מספרים שלמים.
• לכל חוג $R$, הרדיקל של $(x^2)$ בחוג הפולינומים $R[x]$ הוא $(x)$.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld