איבר נילפוטנטי

באלגברה מופשטת, איבר $x$ של חוג $R$ הוא נילפוטנטי, אם יש לו חזקה שהיא אפס, כלומר, אם $x^m=0$ עבור $m$ גדול מספיק. המספר הטבעי הקטן ביותר בעל תכונה זו נקרא דרגת הנילפוטנטיות (ולעיתים גם אינדקס הנילפוטנטיות) של $x$.

חוג (בלי יחידה) שכל אבריו נילפוטנטיים נקרא חוג נילפוטנטי. כל אלגברה נילפוטנטית מממד סופי ניתנת לשיכון באלגברת המטריצות המשולשיות מעל השדה.

דוגמאות

• בחוג $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ של השאריות מודולו 4, האיבר 2 נילפוטנטי (מדרגה 2) כי $2^2=4\equiv 0(\mathrm{mod}4)$.
• המטריצה הריבועית $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ היא מטריצה נילפוטנטית (מדרגה 3), כי מתקיים $A^3=0$.
• בכל חוג (גם אם אינו קומוטטיבי), אם $ab$ נילפוטנטי, אז גם $ba$ כזה, משום ש- $(ba{)}^{n+1}=b(ab{)}^{n}a$. לדוגמה, אם $a=e_{12}+e_{22}$ ו- $b=e_{12}$, כאשר $e_{ij}$ הן מטריצות בסיסיות (זו המטריצה בה בכניסה ה-$i,j$ יש $1$ וביתר הכניסות יש $0$), אז $ab=0$ ו- $ba=b$ נילפוטנטי מדרגה 2.

אם $x$ נילפוטנטי מדרגה $n$, אז $1-x$ איבר הפיך, ומתקיים $(1-x{)}^{-1}=1+x+x^2+x^3+\dots +x^{n-1}$. באופן דומה גם $1+x$ הפיך.

בחוג קומוטטיבי, הסכום של כל איבר הפיך ואיבר נילפוטנטי הוא הפיך: אם $x$ הפיך ו-$y$ נילפוטנטי, אז $x+y=x(1+x^{-1}y)$, ומכיוון ש-$y$ נילפוטנטי נקבל שגם $x^{-1}y$ נילפוטנטי ומהאמור לעיל $1+x^{-1}y$ הפיך, ואז $x+y$ הפיך כמכפלת הפיכים.

הספקטרום של חוג קומוטטיבי $A$ הוא מרחב טופולוגי אי פריק אם ורק אם אוסף כל האיברים הנילפוטנטים בחוג הוא אידיאל ראשוני.

ראו גם

• אידיאל נילי

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld