משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

במתמטיקה, בחקר משוואות דיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.

המשפט נקרא גם משפט פיקאר-לינדלוף (Picard-Lindelöf), משפט הקיום של פיקאר או משפט קושי-ליפשיץ על שמם של המתמטיקאים: אמיל פיקאר, ארנסט לינדלוף, רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.

משפט הקיום והיחידות

יהי $D$ מלבן סגור המכיל את הנקודה $(t_{0}, y_{0})$ . תהי $f$ פונקציה בשני משתנים, שהיא חסומה ורציפה ב- $D$ , המקיימת שם את תנאי ליפשיץ ביחס למשתנה השני. אז קיימת פונקציה אחת ויחידה $y$ המוגדרת בקטע פתוח סביב $t_{0}$ וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית $y^{'} (t) = f (t, y (t))$ לכל $t$ בקטע, ובנוסף מקיימת את תנאי ההתחלה $y (t_{0}) = y_{0}$ .

סקירת ההוכחה

הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרציות פיקארד):

נגדיר

$φ_{0} (t) = y_{0}$

וגם

$φ_{i} (t) = y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f (s, φ_{i - 1} (s)) d s$

אז ניתן להראות, באמצעות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של $φ_{i}$ (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.

שימוש בלמה של גרינוול (Grönwall) על $| φ (t) - ψ (t) |$ , כאשר $φ$ ו- $ψ$ הם שני פתרונות, יראה ש- $φ (t) \equiv ψ (t)$ , ולכן הפתרון הוא יחיד.

לקריאה נוספת

M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)

קישורים חיצוניים

משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

תוכן עניינים