תמונה (תורת הקטגוריות)

בתורת הקטגוריות, תמונה של מורפיזם היא מורפיזם בעל תכונות מסוימות (אם קיים כזה), המכליל את מושג התמונה של פונקציה.

בקטגוריה C, מונומורפיזם $h:I\to Y$ הוא תמונה של המורפיזם $f:X\to Y$, אם:

1. קיים מורפיזם $g:X\to I$ כך ש f=hg.
2. לכל אובייקט Z ולכל מורפיזם $k:X\to Z$ ומונומורפיזם $l:Z\to Y$ כך ש f=lk קיים מורפיזם יחיד $m:I\to Z$ כך ש k=mg ו h=lm.

מן התכונה השנייה, הנקראת "אוניברסליות", נובע שאם התמונה קיימת אז היא יחידה עד כדי איזומורפיזם.

התמונה של f מסומנת לעיתים קרובות ב-$\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$.

דוגמאות

בקטגוריה של קבוצות התמונה של מורפיזם $f:X\to Y$ היא ההכלה של התמונה $\{f(x)|x\in X\}$ לתוך Y. בקטגוריות רבות, כגון הקטגוריה של חבורות, הקטגוריה של חבורות אבליות והקטגוריה של מודולים התמונה של מורפיזם היא התמונה של המורפיזם המתאים בקטגוריה של קבוצות (לאחר הפעלת הפונקטור השוכח).