משפט דה גואה

משפט דה-גואה הוא משפט בגאומטריה המהווה הכללה של משפט פיתגורס לשלושה ממדים. המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ז'אן פול דה-גואה דה-מלבס. המשפט קובע שאם בפירמידה יש פינה ישרה (שלוש הזוויות היוצרות את הפינה, הן זוויות ישרות, ראו תמונה משמאל) אז סכום ריבועי השטחים היוצרים את הפינה הישרה שווה לריבוע שטח הפאה הרביעית.

A r e a_{A B O}^{2} + A r e a_{A C O}^{2} + A r e a_{B C O}^{2} = A r e a_{A B C}^{2}

ניתן להכליל את משפט פיתגורס ואת משפט דה-גואה גם לממדים גבוהים יותר משלוש.

הוכחות

הוכחה גאומטרית

נעביר אנך מהקודקוד O החותך את הפאה ABC בנקודה H ואנך מ-C החותך את הישר AB בנקודה K. (CK עובר דרך הנקודה H). אזי מתקיים: $\frac{H K}{O K} = \frac{O K}{C K}$ (כי שני הביטויים מייצגים את קוסינוס הזווית שבין המישורים AOB ו ACB). מהשיווין הקודם נקבל כי $A r e a_{A B C} \cdot A r e a_{A H B} = \frac{C K \cdot A B}{2} \cdot \frac{H K \cdot A B}{2} = A r e a_{A O B}^{2}$ . באותו אופן מראים כי $A r e a_{A B C} \cdot A r e a_{B H C} = A r e a_{B O C}^{2}$ וְ- $A r e a_{A B C} \cdot A r e a_{A H C} = A r e a_{A O C}^{2}$ . לאחר סיכום שלושת השוויונים הנ"ל ומכיוון ש $A r e a_{A H B} + A r e a_{B H C} + A r e a_{C H A} = A r e a_{A B C}$ נקבל: $A r e a_{A B O}^{2} + A r e a_{A C O}^{2} + A r e a_{B C O}^{2} = A r e a_{A B C}^{2}$ . מ.ש.ל.

הוכחה אנליטית

נצייר מערכת צירים קרטזית בשלושה ממדים. נסמן: $O A = a, O B = b, O C = c$ . נזהה את הנקודה O עם ראשית הצירים ואת הנקודות A,B,C עם הווקטורים (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c). שטח המשולש ABC שווה למחצית המכפלה וקטורית של הווקטורים AB ו AC ולכן:

$A r e a_{A B C}^{2} = (\frac{1}{2} ‖ \vec{A B} \times \vec{A C} ‖)^{2} = \frac{1}{4} ‖ (b c, a c, a b) ‖^{2} = \frac{1}{4} (b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}) = A r e a_{B O C}^{2} + A r e a_{A O C}^{2} + A r e a_{A O B}^{2}$

קישורים חיצוניים

משפט דה גואה

תוכן עניינים

הוכחות

הוכחה גאומטרית

הוכחה אנליטית

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

משפט דה גואה

הוכחות

הוכחה גאומטרית

הוכחה אנליטית

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

חיפוש