הלמה של איטו

במתמטיקה, הלמה של איטו היא למה המשמשת לחישוב הדיפרנציאל של תהליך סטוכסטי מסוג איטו. ללמה של איטו שימושים רבים, למשל בחישובים הכרוכים במערכות פיזיקליות בהן מתבצעת תנועה בראונית, ובשוק ההון בתמחור אופציות לפי מודל בלק ושולס. נקראת על שם המתמטיקאי היפני קיושי איטו.

בצורתה הבסיסית ביותר עוסקת הלמה של איטו בתהליכים סטוכסטיים המכונים "תהליכי איטו", בעלי מבנה של משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית מהסוג: $$d{X}_t={\sigma }_{t}d{B}_t+{\mu }_{t}dt$$

כאשר ${\sigma }_t$ ו- ${\mu }_t$ הם משתנים התלויים פונקציונלית בזמן, המייצגים בדרך כלל את התוחלת וסטיית התקן של המשתנה המקרי $X$, ו- $B_t$ מסמל תהליך בראוני סטנדרטי (המוכר גם בשם תהליך וינר).

הלמה קובעת שאם $f:[a,b]\times ℝ\to ℝ$ היא פונקציה גזירה ברציפות פעמיים $\left(C^2\right)$ אזי הדיפרנציאל הסטוכסטי של $f(X_t)$ קיים (ומהווה גם הוא תהליך איטו) ומתקיים:

$\begin{array}{cc}df(X_t)& =f^{\prime }(X_t)d{X}_t+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(X_t){\sigma }_t^{2}dt\\ & =f^{\prime }(X_t){\sigma }_{t}d{B}_t+(f^{\prime }(X_t){\mu }_t+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(X_t){\sigma }_t^2)dt.\end{array}$

כאשר f היא פונקציה גם של X וגם של t, הנוסחא המלאה (הדו-ממדית) היא:

$df(t,X_t)=(\frac{\partial f}{\partial t}+{\mu }_t\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2}{\sigma }_t^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2})dt+{\sigma }_t\frac{\partial f}{\partial x}d{B}_t$