הוכחה (לוגיקה מתמטית)

בלוגיקה מתמטית, הוכחה היא סדרה סופית $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$ של פסוקים במסגרת שפה מסדר ראשון נתונה, המורכבת מאקסיומות ומגזירות באמצעות כלל היסק (לרוב מודוס פוננס): לכל $1\le i\le n$, תבנית:כ$a_i$ היא אקסיומה, או שקיימים $i_1,\dots ,i_k<i$ כך ש-$a_i$ נגזר מ-$a_{i_1},\dots ,a_{i_k}$ לפי אחד מכללי ההיסק. בסדרה כזו אפשר לראות "הוכחה של המשפט $a_n$", משום שכל טענה היא או אקסיומה, או נובעת מטענות שהוכחו קודם לכן באמצעות כלל הגזירה.

הגדרה פורמלית זו מאפשרת לטפל במושג האינטואיטיבי "הוכחה" באופן פורמלי במסגרת תחום הלוגיקה מתמטית. הענף של לוגיקה מתמטית העוסק בהוכחות קרוי תורת ההוכחות.

באופן כללי, "הוכחה" היא טיעון לוגי, פעמים רבות בעל שלבי הסקה רבים, שממנו ניתן להגיע בוודאות למסקנה מסוימת. למשל, ניתן "להוכיח" שמשפט פיתגורס נכון, או "להוכיח" שאין זה נכון, שכדור הארץ הוא שטוח. ההוכחה יוצאת מתוך נקודות הנחה מסוימות.