פורטל:מתמטיקה/משפטים והשערות/20

השערת ארדש-שטראוס נוסחה על ידי המתמטיקאים פול ארדש וארנסט ג. שטראוס בשנת 1948 אם כי ההופעה המוקדמת ביותר שלה בספרות היא במאמר של ארדש מ-1950.

ההשערה קובעת שעבור כל מספר טבעי $n\ge 2$, המספר הרציונלי $\frac{4}{n}$ ניתן לביטוי כסכום של בדיוק שלושה שברים יסודיים. כלומר, קיימים שלושה מספרים טבעיים x, תבנית:כy ו-z, כך שמתקיים: $\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ . אם נכפיל משווה זו ב-nxyz נקבל את הצורה השקולה $4xyz=n(xy+xz+yz)$, שהיא ניסוח של ההשערה כמשוואה דיופנטית.

אם n הוא מספר פריק, $n=pq$, אז ניתן למצוא פיתוח של ‎4/n בקלות באמצעות הפיתוחים של ‎4/p או ‎4/q. לכן, אם קיימת דוגמה נגדית להשערת ארדש-שטראוס, המספר, n, הקטן ביותר שיצור דוגמה נגדית יהיה ראשוני.

אנשים רבים נעזרו במחשבים כדי לחפש דוגמה נגדית להשערה באמצעות שימוש בכוח גס. נכון לאוקטובר 1999, חיפושים מסוג זה, של אלאן סווט (פרופסור למתמטיקה באוניברסיטה של אינדיאנפוליס), אימתו את ההשערה עבור כל n טבעי עד ל-$10^{14}$.