מודול פשוט
באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג הוא מודול שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו- עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.
כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.
אפיון
כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה ), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה כאשר אידיאל שמאלי של . המודול פשוט בדיוק כאשר אידיאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של הוא האידיאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-; לכן חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.
דוגמאות
- המודולים של חוג המספרים השלמים הם החבורות האבליות; המודולים הפשוטים הם בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
- תת-המודולים הפשוטים של חוג (כמודול מעל עצמו) הם האידיאלים השמאליים המינימליים שלו, אם יש כאלה.
- חוג מטריצות מעל חוג פשוט גם הוא פשוט.
- הלמה של שור קובעת כי חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כלומר כל אנדומורפיזם של מודול פשוט שונה מאפס הוא איזומורפיזם.