גדול מספיק

תבנית:מקורות במתמטיקה, בקבוצה סדורה ליניארית, נאמר שטענה P "מתקיימת לכל x גדול מספיק" אם קיים איבר $r$ כך שלכל $x>r$ הטענה P מתקיימת. האיבר r לא בהכרח ידוע, די בכך שידוע שהוא קיים. המושג הזה מאפשר לנסח טענות בצורה נוחה וקלה להבנה, תוך השמטת הפרטים שאינם מהותיים. לדוגמה, כל פולינום שהמקדם המוביל שלו חיובי הוא חיובי כאשר הארגומנט גדול מספיק.

במספרים הטבעיים, הטענה כי P מתקיים לכל x גדול מספיק שקולה לטענה כי יש רק מספר סופי של מספרים שלא מקיימים את P. כלומר כמעט כל המספרים מקיימים את P. לדוגמה, הוכח כי הגרסה החלשה של השערת גולדבך נכונה לכל n גדול מספיק, אולם בתחילה לא היה ידוע חסם אפקטיבי על n. בהמשך היה הערך שמעליו ההשערה נכונה גדול כל כך, עד שלא ניתן היה לבדוק את ההשערה למספר הסופי של יוצאי הדופן האפשריים, ולכן הטענה לא הוכחה במלואה. פער זה נסגר ב-2013.

דוגמה של שימוש במושג להגדרת בעיה היא גרסה קשה של בעיית וארינג העוסקת במציאת הערכים של $G(k)$ שהוא המספר המינימלי של חזקות k-יות הנדרשות כדי להציג כל מספר טבעי גדול מספיק.

הביטוי קטן מספיק מתייחס למספרים ממשיים קרובים לאפס. אומרים שטענה P מתקיימת לכל x קטן מספיק אם קיים $0<ϵ$ כך שלכל $|x|<ϵ$, הטענה P מתקיימת.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld