תחום פריקות יחידה

בתורת החוגים, תחום פריקות יחידה (באנגלית נקרא בקיצור: UFD, ראשי תיבות של Unique Factorization Domain) הוא תחום שלמות, שבו לכל איבר שונה מאפס שאינו הפיך יש פירוק יחיד לגורמים אי-פריקים, כלומר מתקיים בו משפט אנלוגי למשפט היסודי של האריתמטיקה. כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההפך אינו נכון.

תחום אטומי שבו לכל שני פירוקים של אותו איבר לגורמים אי-פריקים יש אותו אורך, נקרא תחום פריקות למחצה (Half-factorial domain); כל תחום פריקות יחידה הוא בפרט תחום פריקות למחצה. קארליץ הראה שחוג שלמים של שדה מספרים הוא תחום פריקות למחצה אם ורק אם חבורת המחלקות שלו בת שני איברים לכל היותר. למשל, $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ הוא תחום פריקות למחצה, שאינו תחום פריקות יחידה.

דוגמאות

• כל תחום ראשי, ובפרט כל חוג אוקלידי (חוג שיש בו חילוק לפי אלגוריתם אוקלידס) הוא תחום פריקות יחידה.
• אם $R$ הוא תחום פריקות יחידה, אז גם חוג הפולינומים $R[x]$ הוא תחום פריקות יחידה.
• כמסקנה מהדוגמה הקודמת, אם $R$ הוא תחום פריקות יחידה אזי גם $R[x_1,...,x_n]$ הוא תחום פריקות יחידה.
• חוג של טורי חזקות פורמליים מעל שדה.
• כל תחום שלמות רגולרי נתרי הוא תחום פריקות יחידה (Auslander-Buchsbaum, 1959).

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld