שדה המחלקה של הילברט

שדה המחלקה של הילברט $H(K)$, עבור שדה מספרים נתון $K$, הוא ההרחבה האבלית הלא מסועפת הגדולה ביותר, חבורת גלואה של ההרחבה איזומורפית לחבורת המחלקות של $K$ ובפרט דרגת ההרחבה היא מספר המחלקה (class number).

בהקשר הזה, שדה המחלקה לא רק לא מסועף במקומות הסופיים (האידיאלים הראשונים של חוג השלמים) אלא גם במקומות האינסופיים. כלומר, כל שיכון ממשי (שיכון של $K$ ב $ℝ$) ממשיך לשיכון ממשי של $H(K)$ (ולא שיכון מרוכב).

הגדרה

יהי $K$ שדה מספרים (הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים $\mathbb{Q}$). שדה המחלקה של הילברט $E=H(K)$ הוא הרחבת גלואה האבלית הלא-מסועפת המקסימלית של $K$.

דוגמאות

• ${𝒪}_K$ הוא תחום ראשי אם ורק אם $H(K)=K$, כי במקרה ש ${𝒪}_K$ הוא תחום ראשי חבורת מחלקות האידיאלים היא טריוואלית ולכן שדה המחלקה הוא $K$.
• כדי לראות מדוע חייבים להסתכל על ההסתעפות גם במקומות האינסופיים, הסתכל על השדה $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. שדה זה הוא בעל מספר מחלקה 1 ולכן שדה המחלקה שלו הוא הוא, אבל ההרחבה $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)/\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ לא מסועפת בכל האידיאלים הראשוניים. זה אינו סותר את המקסימיליות של שדה המחלקה של הילברט שכן ההרחבה $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)/\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ מסתעפת בראשוניים האינסופיים של $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ שכן יש ל $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ שיכון ממשי שאין דרך להמשיך אותו לשיכון ממשי של $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$.

תכונות

• ההרחבה $H(K)/K$ היא הרחבת גלואה מממד סופי של $K$ ומקיימת $[H(K):K]=|{\mathrm{C}\mathrm{l}}_K|=h_K$ כאשר ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_k$ היא חבורת מחלקות האידיאלים (class group) של $K$ (חבורה זו מורכבת ממחלקות השקילות של אידיאלים בחוג השלמים של $K$, עם יחס השקילות שאידיאלים $A$ ו-$B$ שקולים אם הם שווים עד כדי כפל באידיאלים ראשיים: $A\sim B⟺\mathrm{\exists }x,y\in {𝒪}_K:(x)A=(y)B$).
• חבורת מחלקות האידיאלים איזומורפית לחבורת גלואה של ההרחבה: $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(H(K)/K)\cong {\mathrm{C}\mathrm{l}}_K$.
• כל אידיאל ב-${𝒪}_K$ הוא אידיאל ראשי ב-${𝒪}_{H(K)}$.
• כל אידיאל ראשוני $P$ ב-${𝒪}_K$ מתפרק למכפלה של $h_K/f$ אידיאלים ראשוניים ב-${𝒪}_{H(K)}$ כאשר $f$ הוא הסדר של $[P]$ בחבורת מחלקות האידיאלים ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_K$.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld