יריעה אוריינטבילית

טורוס - יריעה אוריינטבילית. לטורוס שני צדדים - הפנימי (אינו נראה לצופה) והחיצוני (נראה לצופה).

טבעת מביוס - יריעה לא אוריינטבילית. לא ניתן לבחור צד של טבעת מביוס או במילים אחרות "יש לה צד אחד".

במתמטיקה ובפרט בטופולוגיה וגאומטריה, יריעה נקראת אוריינטבילית (Orientable) אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה. באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל-${ℝ}^n$ ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה. אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעיתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי. זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות. הדוגמה הסטנדרטית ליריעה לא אוריינטבילית היא טבעת מביוס.

משטחים אוריינטבילים (במרחב)

בחירת שדה נורמליתבנית:הערה למשטח או במילים אחרות "בחירת צד", מגדירה אוריינטציה על המשטח

משטח במרחב נקרא אוראנטבילי אם ניתן לבחור לו צד. בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת שדה וקטורי נורמליתבנית:הערה למשטח המכוון לעבר הצד הנבחר. הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק להיפר-משטחים תבנית:אנג, זאת אומרת ליריעות $k$ ממדיות ב${ℝ}^{k+1}$.

המקרה הרב ממדי

המקרה החלק

יריעה חלקה $M$ מממד $n$ היא אוריינטבילית אם קיימת עליה תבנית הפיכהתבנית:הערה.

המקרה הכללי

יריעה טופולוגית סגורה וקשירה $M$ מממד $n$ היא אוריינטבילית אם $H_n(M,\mathbb{Z})\ne 0$ (או, באופן שקול, $H_n(M,\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$). לקריטריון זה יש גרסה גם עבור יריעות כלליות, לרבות יריעות עם שפה.

דוגמאות

עקומים

כל עקום (יריעה חד־ממדית) הוא איחוד זר תבנית:אנג של קטעים ומעגלים. לכן כל עקום הוא יריעה אוירנטבילית.

טבעת מביוס וטבעת רגילה

תבנית:תמונות מרובות תבנית:הפניה לערך מורחב הדוגמה הבסיסית ביותר ליריעה לא אוריינטבילית היא טבעת מביוס.

ניתן לבנות טבעת מביוס באופן הבא: לוקחים סרט ארוך, מסובבים את אחד הקצוות מחצית הסיבוב, ואז מדביקים אותו לקצה השני. בניגוד לטבעת רגילה, שהשפה שלה כוללת שני מעגלים נפרדים, השפה של טבעת מביוס כוללת רק מעגל אחד: אם מעבירים אצבע לאורך השפה, משלימים את התנועה לאחר ביקור בכל נקודות השפה.

מכיוון שטבעת מביוס היא משטח במרחב, העובדה שהיא לא אוריינטבילית שקולה לכך שאין עליה שדה נורמלי באורך יחידה. או במילים אחרות, לא ניתן לבחור לה צד.

כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס הוא טבעת רגילה, במילים אחרות גליל. גליל הוא יריעה אוריינטבילית, ולכן טבעת מביוס לא יכלה להיות הומיאומורפית לגליל.

בקבוק קליין וטורוס

תבנית:עוגן תבנית:תמונות מרובות תבנית:הפניה לערך מורחב בקבוק קליין הוא משטח סגור תבנית:אנג לא אוריינטבילי. כפי שנראה בהמשך, עובדה זו מוכיחה שאי-אפשר לשכנו במרחב התלת־ממדי. אולם ניתן להטביעו במרחב כזה (ראה איור), זאת אומרת קיימת אימרסיה תבנית:אנג מבקבוק קליין למרחב תלת־ממדי.

ניתן לתאר את בקבוק קלין בתור מרובע שהדביקו את זוג צלעותיו המנוגדות אחת לשנייה, ואת זוג צלעותיו האחר הדביקו אחת לשנייה אחרי חצי סיבוב של אחת מהן (זאת אומרת, הדביקו כך שנקודות קרובות לפינה התחתונה הימנית למשל יודבקו לנקודות קרובות לפינה העליונה השמאלית, ונקודות קרובות לפינה התחתונה השמאלית יודבקו לנקודות קרובות לפינה העליונה הימנית, ראה איור).

בעזרת תיאור זה ניתן להראות שכיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין הוא הטורוס. הטורוס הוא יריעה אוריינטבילית.

מישור פרויקטיבי, ספירה ומישור

תבנית:תמונות מרובות תבנית:הפניה לערך מורחב המישור הוא יריעה אוריינטבילית, המישור הפרויקטיבי הוא קומפקטיפיקציה לא אוריינטבילית של המישור. ניתן לתאר את המישור הפרויקטיבי בתור אוסף הישרים העוברים דרך הראשית במרחב. דרך נוספת לתארו היא להדביק טבעת מביוס ועיגול לאורך השפה שלהם (הן השפה של טבעת מביוס והן השפה של עיגול היא מעגל). הדרך השנייה מוכיחה כי המישור הפרויקטיבי אינו אוריינטבילי, מכיוון שטבעת מביוס ללא השפה היא יריעה לא אוריינטבילית, וכפי שנראה בהמשך תת-קבוצה פתוחה של יריעה אוריינטבילית היא אוריינטבילית. מהתאור הראשון של המישור הפרויקטיבי ניתן להסיק כי כיסוי האוריינטציות שלו הוא הספירה. הספירה היא יריעה אוריינטבילית. בדומה לבקבוק קליין לא ניתן לשכן את המישור הפרויקטיבי במרחב, אולם ניתן להטביע אותו שם.

משטחים

משטח אוריינטבילי מגנוס 3

תבנית:ערך מורחב ניתן למיין את כל המשטחים (הקשירים) הסגורים תבנית:אנג על ידי האוריינטביליות והגנוס שלהם. משטח (קשיר) אוריינטבילי ${\mathrm{\Sigma }}_n$ מגנוס $n$ נראה כספירה שחיברו אליה $n$ ידיות. לחלופין ניתן לתאר אותו בתור הסכום הקשיר תבנית:אנג

${\mathrm{\Sigma }}_n=S^2\mathrm{\#}\underset{n\text{ copies }}{\underbrace{T^2\mathrm{\#}\dots \mathrm{\#}{T}^2}},$

כאשר $S^2$ היא הסיפרה ו$T^2$ הוא הטורוס. משטח (קשיר) לא אוריינטבילי $\mathrm{\Sigma }{\text{'}}_n$ מגנוס $n$ הוא

$\mathrm{\Sigma }{\text{'}}_n=\underset{n\text{ copies }}{\underbrace{{ℝ\mathbb{P}}^2\mathrm{\#}\dots \mathrm{\#}{ℝ\mathbb{P}}^2}},$

כאשר ${ℝ\mathbb{P}}^2$ הוא המישור הפרויקטיבי.

ניתן להראות ש:

• בקבוק קליין הוא המשטח $\mathrm{\Sigma }{\text{'}}_2$
• $T^2={\mathrm{\Sigma }}_1$
• כיסוי האוריינטציות של $\mathrm{\Sigma }{\text{'}}_n$ הוא ${\mathrm{\Sigma }}_{n-1}$.

מרחב פרויקטיבי, ספירה רב ממדית ומרחב ליניארי

תבנית:הפניה לערך מורחב מרחב ליניארי (ממשי או מרוכב) תמיד אוריינטבילי, מרחב פרויקטיבי הוא קומפקטיפיקציה של מרחב ליניארי (מאותו ממד). ניתן לתאר מרחב פרויקטיבי $n$ ממדי בתור אוסף הישרים העוברים דרך הראשית במרחב $n+1$ ממדי.

מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי אינו אוריינטבילי. בשאר המקרים, מרחבים פרויקטיביים הם יריעות אוריינטביליות. הכיסוי האוניברסלי של מרחב פרויקטיבי ממשי (מממד גדול מ 1) הוא ספירה (מאותו ממד). זהו כיסוי (קשיר) דו-יריעתי. הספירה תמיד אוריינטבילית. לפי אפיון כיסוי האוריינטציות, זה מוכיח שבמקרה שהמרחב הפרויקטיבי לא אוריינטבילי, הספירה היא כיסוי האוריינטציות שלו.

קריטריונים

פעולות עם יריעות אוריינטביליות

• יריעה לא קשירה היא אוריינטבילית אם ורק אם כל רכיבי הקשירות שלה אוריינטבילים.
• יהי $\varphi :M\to N$ הומאומורפיזם מקומי תבנית:אנג של יריעות טופולוגיות. ניתן למשוך לאחור אוריינטציה על $N$ על ידי $.\varphi$ לכן אם $N$ אוריינטבילית אז כך גם $.N$ בפרט תת-קבוצה פתוחה של יריעה אוריינטבילית היא אוריינטבילית.
• מצד שני, אם $M=\bigcup U_i$ הוא כיסוי פתוח של יריעה וניתן לבחור אוריינטציות $o_i$ על $U_i$ כך שהצמצומים תבנית:אנג $o_i{|}_{U_i\cup U_j}$ ו $o_j{|}_{U_i\cup U_j}$ שווים לכל $i,j$ אז $M$ אוריינטבילית. מכאן ניתן להסיק שאם $M=U\cup V$ הוא כיסוי על ידי קבוצות פתוחות אוריינטביליות והחיתוך $U\cap V$ קשיר, אז $M$ אוריינטבילית. מזה נובע שסכום קשיר תבנית:אנג של יריעות אוריינטביליות, אוריינטבילי.
• בנוסף ניתן להסיק מהתכנות של אוריינטציה יחסית שמכפלה של יריעות אוריינטביליות גם היא אוריינטבילית ומכפלה של יריעה לא אוריינטביליות עם מרחב ליניארי היא יריעה לא אוריינטבילית. מזה נובע שמכפלה של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי היא יריעה לא אוריינטביליות.

היפר משטחים

את בקבוק קליין לא ניתן לשכן במרחב מכיוון שהוא משטח סגור תבנית:אנג לא אוריינטבילי. אילו ניתן היה, אז בקבוק קליין חייב היה להיות אוריינטבילי.

תבנית:הפניה לערך מורחב ממשפט ז'ורדן תבנית:אנג ותהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה ניתן להסיק את הטענה הבאה:

טענה: היפר-משטח סגור (Closed Hypersurface) (במרחב ליניארי) תמיד אוריינטבילי.

החבורה היסודית

תבנית:הפניה לערך מורחב מהגדרת קרקטר האוריינטציות ניתן להסיק את הטענה הבאה:

טענה: תהי $M$ יריעה טופולוגית. נניח שלחבורה היסודית שלה אין תת-חבורות מאינדקס 2. אז $M$ אוריינטבילית.

מסקנה: יריעה פשוטת קשר תמיד אוריינטבילית.

יריעות מרוכבות

תבנית:הפניה לערך מורחב יריעה כמעט מרוכבת תבנית:אנג היא יריעה חלקה $M$ מממד זוגי, שעל המרחב המשיק $T_x(M)$ בכל נקודה $x\in M$ נתון מבנה של מרחב ליניארי מעל $ℂ$ (התלוי באפן חלק בנקודה $x$).

מהעובדה שכל אוטומורפיזם ליניארי מרוכב שומר האוריינטציהתבנית:הערה ניתן להסיק את הטענה הבא:

טענה: יריעה כמעט מרוכבת תמיד אוריינטבילית.

מסקנה: יריעה אנליטית מרוכבת, ובפרט יריעת הנקודות של יריעה אלגברית חלקה תבנית:אנג מרוכבת, תמיד אוריינטבילית.

יריעות סימפלקטיות

תבנית:הפניה לערך מורחב מהגדרת מושג האוריינטציה על יריעה חלקה ניתן להסיק את הטענה הבאה:

טענה: יריעה סימפלקטית תמיד אוריינטבילית.

סיכום

יריעות אוריינטביליות	יריעות לא אוריינטביליות
עקומים קטע מעגל
טבעת רגילה	טבעת מביוס
מרחבים ליניאריים מישור
ספירה (מכל ממד) מרחב פרויקטיבי (ממשי) מממד אי-זוגי	מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי מישור פרויקטיבי
טורוס	בקבוק קליין
יריעה המועתקת על ידי הומיאומורפיזם מקומי תבנית:אנג ליריעה אוריינטבילית תת-קבוצה פתוחה של יריעה אוריינטבילית איחוד של שתי קבוצות פתוחות אוריינטביליות בעלות חיתוך קשיר סכום קשיר של יריעות אוריינטביליות משטחים אוריינטבילים – סכום קשיר תבנית:אנג של ספירות וטורוסים	יריעה אליה מועתקת יריעה לא אוריינטבילית על ידי הומאומורפיזם מקומי יריעה בעלת תת-קבוצה פתוחה לא אוריינטבילית סכום קשיר של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים
מכפלה של יריעות אוריינטביליות	מכפלה של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי
היפר משטחים סגורים (Closed Hypersurfaces) יריעות אשר לחבורה היסודית שלהן אין תת-חבורות מאינדקס 2 יריעות פשוטות קשר יריעות מרוכבות מרחב פרויקטיבי מרוכב יריעות סימפלקטיות כיסוי האוריינטציות