טווח יציב (תורת החוגים)

בתורת החוגים, טווח יציב הוא ערך מספרי המותאם לחוג, ומהווה כימות אריתמטי לתכונות של קבוצות יוצרים. הטווח היציב הוגדר על ידי היימן בס ב-1960, על-מנת למדוד את היציבות של חבורות המטריצות ההפיכות מעל חוג בהקשר לתורת K שלו.

אם לחוג אנדומורפיזמים של מודול יש טווח יציב 1, אז המודול ניתן לצמצום: אם $M\oplus P\cong M\oplus Q$ ו-$\mathrm{End}(M)$בעל טווח יציב 1, אז $P\cong Q$. מכאן אפשר להסיק שמעל חוג בעל טווח יציב 1, כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית ניתן לצמצום.

הגדרה

הטווח היציב של חוג R שווה למספר המינימלי n שעבורו, לכל $a_1,\dots ,a_n,a_{n+1}\in R$ שעבורם $R{a}_1+\cdots +R{a}_{n+1}=R$, קיימים $t_1,\dots ,t_n\in R$ כך ש-$R(a_1+t_1{a}_{n+1})+\cdots +R(a_n+t_n{a}_{n+1})=R$; אם קיים כזה. הגרסה הימנית של הגדרה זו מביאה לאותו ערך מספרי. את הטווח היציב של R מסמנים ב-$\mathrm{sr}(R)$.

דוגמאות

לכל שדה ולכל חוג קומוטטיבי מקומי יש טווח יציב 1. הטווח היציב של חוג המספרים השלמים הוא 2. הטווח היציב של חוג קומוטטיבי נתרי אינו עולה ביותר מ-1 על ממד קרול שלו. הטווח היציב של חוג הפולינומים $k[x_1,\dots ,x_n]$ מעל שדה הוא n+1.

תכונות

לכל אידיאל I של R מתקיים $\mathrm{sr}(R/I)\le \mathrm{sr}(R)$. עבור $I=\mathrm{Jac}(R)$, הרדיקל של ג'ייקובסון, מתקיים שוויון. במובן זה, הטווח היציב הוא תכונה של חוגים פרימיטיביים למחצה.

חוג בעל טווח יציב 1 הוא חוג סופי-דדקינד (כלומר אם ab=1 אז גם ba=1). בפרט, הטווח היציב של R הוא 1, אם $a,b\in R$ שעבורם $Ra+Rb=R$, קיים $t\in R$ כך ש-$a+tb$ הפיך. כל חוג $\pi$-רגולרי חזק הוא בעל טווח יציב 1 תבנית:הערה. לכל חוג מקומי למחצה יש טווח יציב 1. אם R בעל טווח יציב 1, אז כך גם כל חוג אנדומורפיזמים של מודול פרויקטיבי נוצר סופית מעליו; בפרט, לחוגי המטריצות מעל R יש טווח יציב 1. בכיוון ההפוך, אם $\mathrm{sr}(R)=1$ ו-e אידמפוטנט של R, אז גם $\mathrm{sr}(eRe)=1$.

יש חסם כללי על הטווח היציב של חוגי מטריצות: אם $\mathrm{sr}(R)=n$ אז $\mathrm{sr}(M_k(R))\le 1+\lceil \frac{n-1}{k}\rceil$.