משפט ארנפסט

במכניקת הקוונטים, משפט ארנפסט (על שם הפיזיקאי פאול ארנפסט) הוא משפט המקשר בין הנגזרת של ערך התצפית של אופרטור פיזיקלי כלשהו, עם הקומוטטור שלו עם ההמילטוניאן של המערכת.תבנית:הערה

המשפט אומר כי מתקיים:תבנית:הערה

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$

כאשר $A$ הוא אופרטור פיזיקלי, ו-$⟨A⟩$ הוא ערך התצפית שלו.

משפט ארנפסט מופיע רבות בתמונת הייזנברג בתור ערך התצפית של משוואת התנועה של הייזנברג. כמו כן, הוא מהווה תמיכה מתמטית לעקרון ההתאמה של בוהר.

משפט ארנפסט דומה מאוד למשפט ליוביל על המילטוניאנים תבנית:אנ, כאשר מחליפים את הקומוטטור בסוגרי פואסון. לפי כלל האצבע של דיראק, טענות במכניקת הקוונטים שמכילות קומוטטור מתאימות לטענות מהמכניקה הקלאסית כאשר מחליפים בין הקומוטטור וסוגרי פואסון, מוכפלים ב- iħ.

הוכחה בתמונת שרדינגר

תהי מערכת קוונטית הנמצאת במצב קוונטי $\mathrm{\Phi }$. נרצה לחשב את הנגזרת בזמן של ערך התצפית של האופרטור A, והיא לפי הגדרה:

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{d}{dt}\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\mathrm{\Phi }d{x}^3=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }d{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)\mathrm{\Phi }d{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)d{x}^3=$

$=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }d{x}^3+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)d{x}^3$

כאשר האינטגרציה היא על כל המרחב. כשנפעיל את משוואת שרדינגר, נקבל:

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=\frac{1}{i\hslash }H\mathrm{\Phi }$

והיות ואופרטור ההמילטוניאן הרמיטי, מתקיים גם

$\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}=-\frac{1}{i\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}{H}^{*}=-\frac{1}{i\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}H.$תבנית:הערה

כשנציב את שתי המשוואות האחרונות במשוואה הראשונה, נקבל את המשפט:

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }\int {\mathrm{\Phi }}^{*}(AH-HA)\mathrm{\Phi }d{x}^3+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$

במקרים בהם האופרטור A אינו תלוי בזמן, האיבר האחרון מתאפס.

הוכחה בתמונת הייזנברג

בתמונת הייזנברג, הנגזרת טריוויאלית. תמונת הייזנברג מקדמת בזמן את המערכת באמצעות אופרטורים ולא מצבים על ידי משוואת התנועה של הייזנברג:

$\frac{d}{dt}A(t)=\frac{\partial A(t)}{\partial t}+\frac{1}{i\hslash }[A(t),H]$

ניתן להוכיח מכאן את משפט ארנפסט בקלות באמצעות הפעלת נגזרת האופרטור באופן הבא:

$⟨\mathrm{\Psi }|\frac{d}{dt}A(t)|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|\frac{\partial A(t)}{\partial t}|\mathrm{\Psi }⟩+⟨\mathrm{\Psi }|\frac{1}{i\hslash }[A(t),H)]|\mathrm{\Psi }⟩$

ניתן להוציא את הנגזרת מהביטוי הראשון היות שוקטורי מצב בתמונת הייזנברג הם בלתי תלויים בזמן. על כן:

$\frac{d}{dt}⟨A(t)⟩=⟨\frac{\partial A(t)}{\partial t}⟩+\frac{1}{i\hslash }⟨[A(t),H)]⟩$

דוגמה

עבור חלקיק גדול הנע בפוטנציאל V, ההמילטוניאן הוא

$H(x,p,t)=\frac{p^2}{2m}+V(x,t)$

כאשר x הוא מיקום החלקיק.

נרצה לחשב את השינוי הרגעי בתנע p. נעשה זאת תוך שימוש במשפט ארנפסט:

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,H]⟩+⟨\frac{\partial p}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,V(x,t)]⟩$

כאשר המעבר השני נובע מכך שאופרטור התנע חילופי עם עצמו ואינו תלוי מפורשות בזמן.תבנית:הערה. נשתמש בכך שמתקיים $p=-i\hslash \mathrm{\nabla }$ ונקבל:

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\int {\mathrm{\Phi }}^{*}V(x,t)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }d{x}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\mathrm{\nabla }(V(x,t)\mathrm{\Phi })d{x}^3$

נפעיל על הביטוי השני את כלל לייבניץ ונקבל:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dt}⟨p⟩& =\int {\mathrm{\Phi }}^{*}V(x,t)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }d{x}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}(\mathrm{\nabla }V(x,t))\mathrm{\Phi }d{x}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}V(x,t)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }d{x}^3\\ & =-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}(\mathrm{\nabla }V(x,t))\mathrm{\Phi }d{x}^3\\ & =⟨-\mathrm{\nabla }V(x,t)⟩=⟨F⟩,\end{array}$

וזהו החוק השני של ניוטון. זוהי דוגמה לעקרון ההתאמה של בוהר. באופן דומה, ניתן לבדוק את השינוי בזמן של ערך התצפית של המקום:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dt}⟨x⟩& =\frac{1}{i\hslash }⟨[x,H]⟩+⟨\frac{\partial x}{\partial t}⟩\\ & =\frac{1}{i\hslash }⟨[x,\frac{p^2}{2m}+V(x,t)]⟩+0\\ & =\frac{1}{i\hslash }⟨[x,\frac{p^2}{2m}]⟩\\ & =\frac{1}{i\hslash 2m}⟨[x,p]\frac{d}{dp}{p}^2⟩\\ & =\frac{1}{i\hslash 2m}⟨i\hslash 2p⟩\\ & =\frac{1}{m}⟨p⟩\end{array}$

אכן, שוב קיבלנו התאמה לעקרון מהמכניקה הקלאסית.

ראו גם

• מכניקת הקוונטים
• ערך תצפית
• דינמיקה קוונטית