משפט ליוביל (אלגברה דיפרנציאלית)

משפט ליוביל הוא משפט באלגברה דיפרנציאלית, הקובע תנאי הכרחי ומספיק לקיומה של פונקציה קדומה אלמנטרית לפונקציה נתונה. את המשפט הוכיח ז'וזף ליוביל ב-1835.

מהמשפט עולות דוגמאות מפורסמות לאינטגרלים לא מסוימים שאינם פונקציות אלמנטריות, כגון פונקציית השגיאה $\int e^{-x^2}dx$, האינטגרל הלוגריתמי ההפוך $\int \frac{1}{\ln x}dx$ (המוכר ממשפט המספרים הראשוניים) ו-$\int \frac{\sin x}{x}dx$.

רקע

פונקציה אלמנטרית היא פונקציה המתקבלת ממספר סופי של פעולות פשוטות על פונקציות בסיסיות. פורמלית, ניתן לבנות את הפונקציות האלמנטריות באופן אלגברי כמתואר להלן.

יהי $F$ שדה עם פעולת גזירה $a\mapsto a^{\prime }$. השדה $F$ יחד עם הפעולה $a^{\prime }$ נקרא שדה דיפרנציאלי. אוסף האיברים $F_C=\{a\in F:a^{\prime }=0\}$ הוא תת-שדה של $F$ הקרוי שדה הקבועים של $F$.

אקספוננט של איבר $a\in F$ הוא איבר המסומן $e^a$ שמקיים: $(e^a{)}^{\prime }=a^{\prime }{e}^a$ (זהו אנלוג אלגברי של פונקציית האקספוננט). באופן דומה, לוגריתם של איבר $a\in F$ הוא איבר המסומן $\log a$ שמקיים: $(\log a{)}^{\prime }=a^{\prime }/a$ (זהו אנלוג אלגברי של הלוגריתם הטבעי).

הרחבת שדות דיפרנציאלית זהה להרחבת שדות רגילה בכפוף לתנאי שהנגזרות מזדהות על השדה הקטן. הרחבה דיפרנציאלית $K/F$ נקראת הרחבה אלמנטרית של $F$ אם קיימת שרשרת סופית של הרחבות $F=K_0\subset K_1\subset K_2\subset \dots \subset K_n=K$ כך שלכל $0\le i<n$ מתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות:

• $K_{i+1}=K_i(a)$ כאשר a אלגברי מעל $K_i$.
• $K_{i+1}=K_i(e^a)$ כאשר $a\in K_i$.
• $K_{i+1}=K_i(\log a)$ כאשר $a\in K_i$.

המשפט

יהי $a\in F$ ותהי $K/F$ הרחבה אלמנטרית כך ש-$F_C=K_C$, וכן קיים $b\in K$ המקיים $b^{\prime }=a$. אזי קיימים קבועים $c_1,\dots ,c_n\in F_C$ ואיברים $u_1,\dots ,u_n,v\in F$ כך שמתקיים:

$a=\sum _{i=1}^n{c}_i\frac{{u_i}^{\prime }}{u_i}+v^{\prime }$

במילים אחרות, לכל איבר בשדה דיפרנציאלי עם קדומה אלמנטרית יש קדומה בשדה, עד כדי סכום של מספר סופי של לוגריתמים.