משוואת ריינולדס

משוואת ריינולדס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את פילוג הלחץ בשכבות דקות של זורם צמיג במכניקת הזורמים. המשוואה פותחה לראשונה על ידי אוסבורן ריינולדס ב-1886. ניתן להשתמש במשוואת ריינולדס כמעט לכל סוג של מסוב בו שני החלקים המוצקים מופרדים על ידי נוזל או גז.

המשוואה הכללית

קובץ:גאומטריה למשוואת ריינולדס.jpeg

גאומטריה כללית עבור משוואת ריינולדס

עבור המקרה במתואר בתמונה משמאל משוואת ריינולדס היא: $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu }\frac{\partial p}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu }\frac{\partial p}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\rho h(U_a+U_b)}{2}\right)+\rho (w_a-w_b)-\rho U_b\frac{\partial h}{\partial x}+h\frac{\partial \rho }{\partial t}$

כאשר:

• $x,y,z$ - הן קואורדינטות קרטזיות.
• $p$ - לחץ כפונקציה של $x$.
• $h$ - פרופיל המשטח העליון כפונקציה של $x$.
• $\rho$ - צפיפות הנוזל.
• $\mu$ - צמיגות הנוזל.
• $U_a$ - מהירות בכיוון $x$ של המשטח התחתון.
• $U_b$ - מהירות בכיוון $x$ של המשטח העליון.
• $w_a$ - מהירות בכיוון ציר $y$ של המשטח התחתון.
• $w_b$ - מהירות בכיוון ציר $y$ של המשטח העליון.

הנחות המודל

1. הזורם הוא ניוטוני, כוחות הגזירה פרופורציונליים למהירות.
2. אינרציה וכוחות גוף זניחים.
3. שינויים בלחץ לאורך ציר $z$ זניחים כלומר $p=p(x,y)$
4. הזרימה היא למינארית. (עבור זרימה טורבולנטית יש להשתמש במשוואת ריינולדס שונה)
5. אפקטים עקב עקמומיות המשטח העליון זניחים. כלומר עובי הזורם קטן בהרבה מעובי ואורך המיסב.

משמעות איברי המשוואה

• $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu }\frac{\partial p}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu }\frac{\partial p}{\partial y}\right)$ - זרימת הזורם עקב גרדיאנט לחץ.
• $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\rho h(U_a+U_b)}{2}\right)$ -זרימת הזורם עקב גזירה (זרימת קוואט).
• $\rho U_b\frac{\partial h}{\partial x}$ - לחיצה כתוצאה מהגאומטריה של המשטח העליון.
• $\rho (w_a-w_b)$ - לחיצה עקב תנועה של שני המשטחים אחד כלפי השני.
• $h\frac{\partial \rho }{\partial t}$ - התפשטות מקומית של הנוזל.

הרחבת איבר הזרימה עקב גזירה

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\rho h(U_a+U_b)}{2}\right)=h(U_a+U_b)\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\rho }{2}\right)+\rho h\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{(U_a+U_b)}{2}\right)+(U_a+U_b)\rho \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{h}{2}\right)$

• עבור משטחים קשיחים האיבר $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{(U_a+U_b)}{2}\right)=0$
• שינוי הגאומטריה הוא האיבר החשוב ביותר והוא הגורם ליצירת לחץ במיסב. על מנת לקבל לחץ חיובי על המשטח להיות $\frac{\partial h}{\partial x}<0$
• האיבר של שינוי הצפיפות לאורך ציר $x$ זניח בדרך כלל ביחס לאיבר של שינוי הגאומטריה.$\frac{\partial h}{\partial x}>>\frac{\partial \rho }{\partial x}$

פתרון משוואה זו אינו משימה קלה, אך בגאומטריות פשוטות משוואה זו ניתנת לפתרון אנליטי.

דוגמה לפתרון אנליטי

קובץ:Simple geometry.PNG

גאומטריה פשוטה עבור משוואת ריינולדס.

בדוגמה הבאה ישנן שתי פלטות, התחתונה נעה בכיוון ציר $x$ במהירות קבועה והעליונה סטטית אך בשיפוע.

הנחות לפתרון הבעיה

1. מצב מתמיד. $\frac{\partial }{\partial t}=0$
2. זורם בלתי דחיס וצמיגות קבועה $\rho =const,\mu =const$.
3. מימד הגובה קטן בהרבה ממימד העומק והרוחב. $h<<L$
4. בעיה דו־ממדית, כלומר מימד העומק גדול מאוד ביחס לממדים האחרים ואין כל שינוי במימד זה.

עבור הנחות אלו משוואת ריינולדס מצטמצמת לצורה הבאה:

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu }\frac{\partial p}{\partial x}\right)=\frac{1}{2}\rho U\frac{\partial h}{\partial x}$

פרופיל המשטח העליון הוא:

$h(x)=\frac{h_2-h_1}{L}x+h_1$

בידיעת פרופיל המשטח העליון ניתן למצוא את פילוג הלחץ בצורה אנליטית. הפתרון הוא:

$P(x)=-\frac{6\mu U}{h(x{)}^2}x-\frac{k_1}{2*h(x{)}^2*\frac{h_2-h_1}{L}}+k_2$

כאשר $k_1,k_2$ הם קבועי האינטגרציה.

קישורים חיצוניים

• הרצאותיו של פרופסור משנה אמיר גת, טכניון.
• Michael Khonsari, E. Richard Booser. Applied tribology, bearing design and lubrication. 2nd ed.