חוג השלמים של אייזנשטיין

השלמים של אייזנשטיין כנקודות של הסריג המשולשי המשוכלל במישור המרוכב.

תבנית:סימון מתמטי במתמטיקה, חוג השלמים של אייזנשטיין הוא החוג $\mathbb{Z}[\omega ]=\{a+b\omega :a,b\in \mathbb{Z}\}$ כאשר $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\exp \left(\frac{2\pi }{3}i\right)$ הוא שורש שלישי פרימיטיבי של היחידה. אברי החוג, הנקראים מספרי אייזנשטיין (ולפעמים מספרי אוילר), מרכיבים סריג משולשי בתבנית:ה, בדומה לשלמים של גאוס, היוצרים סריג ריבועי. השלמים של אייזנשטיין מופיעים בהוכחה של לנדאו למקרה $n=3$ בתבנית:התבנית:הערה, שאותו הוכיחו אוילר ולז'נדר באופן ישיר יותר.

חוג השלמים של אייזנשטיין הוא תחום שלמות אוקלידי, שהוא חוג השלמים של שדה המספרים $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$. את פעולת הכפל אפשר לחשב מן הזהות ${\omega }^2+\omega +1=0$. הנורמה של מספרי אייזנשטיין היא $N(a+b\omega )=(a+b\omega )(b+b{\omega }^{-1})=a^2-ab+b^2$. בחוג הזה יש שישה איברים הפיכים: החזקות של $-\omega$.

הראשוניים של אייזנשטיין

הראשוניים בחוג השלמים של אייזנשטיין שייכים לשלוש קבוצות: (1) ראשוניים טבעיים השקולים ל-2 מודולו 3; (2) המספר $1-\omega$, שהנורמה שלו היא 3; (3) מספרי אייזנשטיין בעלי נורמה ראשונית השקולה ל-1 מודולו 3 (כגון $3+2\omega$ שהנורמה שלו 7, או $3-2\omega$ שהנורמה שלו 19).

טור אייזנשטיין

סכום החזקות הרביעיות של כל ההופכיים של שלמי אייזנשטיין למעט 0 הוא: $$\sum _{z\in 𝐄\setminus \{0\}}\frac{1}{z^4}=G_4\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=0$$

כך ש-$e^{2\pi i/3}$ הוא שורש של אינווריאנט j ("הקבוע האבסולוטי של קליין"). בגלל שאינווריאנט j הוא פונקציה חד-חד ערכית על תחום יסודי במישור המרוכב, זהו גם השורש היחידי שלו בתחום יסודי נתון, מה שמקנה לסריג המשולשי של שלמי אייזנשטיין חשיבות מיוחדת בהקשר אליו. באופן כללי $G_k\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=0$ אם ורק אם $k\equiv ̸0(\mathrm{mod}6)$.

סכום כל ההופכיים של שלמי אייזנשטיין (למעט 0) כאשר הם מועלים לחזקה שישית ניתן לביטוי במונחי פונקציית גמא:

$$\sum _{z\in 𝐄\setminus \{0\}}\frac{1}{z^6}=G_6\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1/3{)}^{18}}{8960{\pi }^6}$$

כאשר E הם שלמי אייזנשטיין ו-G₆ הוא טור אייזנשטיין ממשקל 6.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld