משפט ברי-אסן

תבנית:תקציר פורטלבתורת ההסתברות, משפט ברי-אסן (Berry-Esseen) נותן הערכה כמותית לקצב ההתכנסות במשפט הגבול המרכזי. המשפט חוסם, בתנאים מסוימים, את המרחק, בנורמת קולמוגורוב-סמירנוף, בין התפלגות ממוצע הדגימות של משתנה מקרי להתפלגות הנורמלית.

המשפט הוכח תחילה על ידי אנדרו ברי (1941) ולאחר מכן על ידי קרל-גוסטב אסן (1942).

ניסוח המשפט

קיים קבוע חיובי C כך שאם $X_1,\dots X_n$ הם משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות שמקיימים $E(X_1)=0,E(X_1^2)={\sigma }^2>0,E(|X_1{|}^3)=\rho <\mathrm{\infty }$ אז אם

$Y_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$

ונסמן את פונקציית הצטברות של $\frac{Y_n\sqrt{n}}{\sigma }$ ב $F_n$

ואת פונקציית ההצטברות של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית ב $\mathrm{\Phi }$

אז לכל $x$ ו $n$

$|F_n(x)-\mathrm{\Phi }(x)|\le \frac{C\rho }{{\sigma }^3\sqrt{n}}$

בנוסף, C חסום על ידי: $0.4748>C\ge \frac{\sqrt{10}+3}{6\sqrt{2\pi }}\approx 0.40973$

הערה: למשפט קיימת גם גרסה עבור משתנים מקריים שאינם שווי התפלגות.

לקריאה נוספת

• תבנית:Cite journal
• תבנית:Cite journal
• תבנית:Cite journal

תבנית:קצרמר