נוסחת קושי-בינה

באלגברה ליניארית, נוסחת קושי בינה היא נוסחה לדטרמיננטה של מכפלת מטריצות שאינן דווקא ריבועיות.

הדטרמיננטה מוגדרת רק למטריצות ריבועיות. היא כפלית, כלומר מקיימת את הזהות $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ לכל שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר. נוסחת קושי בינה מכלילה את הזהות גם למטריצות שאינן דווקא ריבועיות.

הנוסחה

תהיינה $A,B$ מטריצות מסדר $m\times n,n\times m$ בהתאמה. נסמן ב-$S$ את קבוצת כל תתי הקבוצות של $\{1,2,..,n\}$ מגודל m. עבור $\tau \in S$, נסמן ב-$A^{\tau }$ את המטריצה המתקבלת מהעמודות של A באינדקסים הנמצאים ב-$\tau$ (בסדר המקורי), וב-$B^{\tau }$ את המטריצה המתקבלת מהשורות של B באינדקסים הנמצאים ב-$\tau$ (בסדר המקורי). אז מתקיים:

$\det (AB)=\sum _{\tau \in S}\det (A^{\tau })\det (B^{\tau })$

הנוסחה מעניינת כאשר n>m. אם n=m, אז $S=\{\{1,...,n\}\}$ כלומר תת-הקבוצה היחידה היא הקבוצה כולה ואז המטריצות זהות למקוריות ומתקבלת הזהות $\det (AB)=\det (A)\det (B)$. אם m>n, אין תתי קבוצות כאלה ולכן הסכום הוא הסכום הריק ששווה ל-0, ואכן במקרה זה הדטרמיננטה בהכרח 0 כי המטריצה לא הפיכה משיקולי דרגות. לכן הנוסחה נכונה תמיד.

הוכחה

נסמן את העמודה ה-i של מטריצה $M$ ב-$M_i$ כמו כן, נסמן ב-$(M_1,...,M_n)$, כאשר $M_i$ הם וקטורי עמודה, את המטריצה המתקבלת מהם. לבסוף נסמן ב-$S_n$ את קבוצת כל התמורות על $\{1,...,n\}$.

נשתמש במולטילינאריות הדטרמיננטה ובנוסחה הישירה ונקבל:

$\det (AB)=\det (A{B}_1,...,A{B}_m)=\det (\sum _{i=1}^n{b}_{i1}{A}_i,...,\sum _{i=1}^n{b}_{im}{A}_i)$

$=\sum _{1\le i_1,...,i_m\le n}{b}_{i_{1}1},...,b_{i_{m}m}\det (A_{i_1},...,A_{i_m})$

$=\sum _{1\le i_1\le ...\le i_m\le n}\sum _{\sigma \in S_n}{b}_{i_{\sigma (1)}1}...b_{i_{\sigma (m)}m}\det (A_{i_{\sigma (1)}},...,A_{i_{\sigma (m)}})$

$=\sum _{1\le i_1\le ...\le i_m\le n}\sum _{\sigma \in S_n}{b}_{i_{\sigma (1)}1}...b_{i_{\sigma (m)}m}\mathrm{sgn}(\sigma )\det (A_{i_1},...,A_{i_m})$

$=\sum _{\tau \in S}\det (A^{\tau })\det (B^{\tau })$

כרצוי.

הכללות

ניתן להכליל את המשפט באופן הבא: תהיינה $A,B$ מטריצות מסדר $m\times n,n\times p$ בהתאמה. תהיינה $I,J$ תתי קבוצות של $\{1,..,m\},\{1,...,p\}$ בהתאמה בגודל k. נסמן ב-$S$ את קבוצת כל תתי הקבוצות של $\{1,2,..,n\}$ מגודל k. עבור $U,V$ תתי קבוצות של טבעיים, נסמן ב-$M_{UV}$ את המטריצה המתקבלת מהשורות של $M$ שנמצאות ב-$U$, והעמודות של $M$ הנמצאות ב-$V$. אז מתקיים:

$\det (A{B}_{IJ})=\sum _{K\in S}\det (A_{IK})\det (B_{KJ})$.