פונקציות ברילואן ולנז'וון

פונקציות ברילואן ולנז'וון הן זוג פונקציות מיוחדות תבנית:כלומר? המשמשות לחקר חומר פאראמגנטי אידיאלי במכניקה סטטיסטית.

פונקציית ברילואן

פונקציית ברילואן (על שמו של לאון ברילואן)תבנית:הערהתבנית:הערה היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה:

$B_J(x)=\frac{2J+1}{2J}\coth \left(\frac{2J+1}{2J}x\right)-\frac{1}{2J}\coth \left(\frac{1}{2J}x\right)$

הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו x הוא משתנה ממשי ו-J הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם. במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר $x\to +\mathrm{\infty }$ ול-1- כאשר $x\to -\mathrm{\infty }$.

הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב המגנוט של פאראמגנט אידיאלי. ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של המגנטיזציה M בשדה המגנטי B ובתנע הזוויתי הקוונטי הכולל J של המומנטים המגנטיים המיקרוסקופיים של החומר. המגנטיזציה ניתנת על ידי:תבנית:הערה

$M=Ng{\mu }_{B}J\cdot B_J(x)$

כאשר:

• $N$ הוא מספר האטומים ליחידת נפח.
• $g$ הוא פקטור g.
• ${\mu }_B$ הוא מגנטון בוהר.
• $x$ הוא היחס בין אנרגיית זימן של המומנט המגנטי בשדה החיצוני לבין האנרגיה התרמית $k_{B}T$:

$x=\frac{g{\mu }_{B}JB}{k_{B}T}$

• $k_B$ הוא קבוע בולצמן ו-$T$ היא הטמפרטורה.

במערכת היחידות SI, השדה המגנטי $B$נמדד ביחידות טסלה ו-$B={\mu }_{0}H$ כאשר $H$ הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות A/m ו-${\mu }_0$ הוא קבוע הפרמאביליות בריק.

פונקציית לנז'ווין

בגבול הקלאסי, כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי, והתנע הזוויתי $J\to +\mathrm{\infty }$. אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן לפונקציית לנז'וון, (על שמו של פול לנז'וון):

$L(x)=\coth (x)-\frac{1}{x}$

עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך טור טיילור:תבנית:הערה

$L(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3+\frac{2}{945}{x}^5-\frac{1}{4725}{x}^7+\dots$

חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת $\tanh (x)$ כשבר משולב על פי למברט:

$L(x)=\frac{x}{3+\frac{x^2}{5+\frac{x^2}{7+\frac{x^2}{9+\dots }}}}$

פונקציית לנז'וון ההפוכה $L^{-1}(x)$, מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך טור טיילור:תבנית:הערה

$L^{-1}(x)=3x+\frac{9}{5}{x}^3+\frac{297}{175}{x}^5+\frac{1539}{875}{x}^7+\dots$

גבול טמפרטורה גבוהה

כאשר $x\ll 1$, כלומר, כאשר ${\mu }_{B}B/k_{B}T$ קטן מאוד - בגבול טמפרטורה $T$ גבוהה, ערך המגנטיזציה ניתן לקירוב על ידי חוק קירי:

$M=C\cdot \frac{B}{T}$

כאשר, $C=\frac{N{g}^{2}J(J+1){\mu }_B^2}{3k_B}$ הוא קבוע ומגנטון בוהר האפקטיבי הוא $g\sqrt{J(J+1)}{\mu }_B$.

גבול שדה רחוק

כאשר $x\to +\mathrm{\infty }$ פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, המגנטיזציה מגיעה לרוויה כאשר כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי:

$M=Ng{\mu }_{B}J$