אינטגרל פרנל

הפונקציות S(x) (אדום) ו-C(x) (ירוק)

במתמטיקה, אינטגרלי פרנל, הם שתי פונקציות טרנסצנדטליות הנקראות על שם אוגוסטן ז'אן פרנל, אשר השתמש בהם למחקר באופטיקה. הפונקציות הללו קרובות לפונקציית השגיאה, ומוגדרות כך:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)\mathrm{d}t,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)\mathrm{d}t.$

הפונקציות הם גם הייצוג הפרמטרי של ספירלת אוילר, מכיוון שניתן להגדיר את הספירלה על ידי כאוסף הנקודות (x,y) כך שעבור t מסוים, מתקיים (x, y) = (C(t), S(t)).

מאפיינים

• הפונקציות הם פונקציות אי זוגיות.
• ניתן לראות שככל ש-$x\to \mathrm{\infty }$ אז ניתן להגדיר את הפונקציות בצורה אסימפטוטית בדרך הבאה:

$S(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\frac{\text{sign}(x)}{2}-[1+O(x^{-4})](\frac{\cos (x^2)}{x\sqrt{2\pi }}+\frac{\sin (x^2)}{x^3\sqrt{8\pi }})),$

$C(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\frac{\text{sign}(x)}{2}+[1+O(x^{-4})](\frac{\sin (x^2)}{x\sqrt{2\pi }}-\frac{\cos (x^2)}{x^3\sqrt{8\pi }})).$

• ניתן להגדיר את הפונקציות על ידי טור אינסופי ואף להכליל אותם עבור ערכים מרוכבים וניתן להגדיר את הכללתם על ידי פונקציית השגיאה. ההכללה של הפונקציות הופכת אותם לפונקציות אנליטיות ושלמות בכל המישור, דבר שנעשה בדרך הבאה:

ספירלת אוילר (x, y) = (C(t), S(t)). העקומה מתכנסת למרכז הספירה משני הצדדים ככל שערכו של t שואף לאינסוף או מינוס אינסוף

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}$

$S(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1+i}{4}[\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)-i\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right)],$

$C(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1-i}{4}[\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)+i\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right)].$

$C(z)+iS(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1+i}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right),$

$S(z)+iC(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1+i}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right).$

• הפונקציות מתכנסות בתנאי בתחום הלא-שלילי של מישר הממשי.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld