רשת מיון

איור 1: רשת מיון פשוטה לארבעה קלטים בעלת ארבעה חוטים וחמש יחידות השוואה.

במדעי המחשב, רשת השוואה היא מבנה מתמטי הכולל רשת של "חוטים" שעליהם "זורמים" ערכים, ושל יחידות השוואה המחברות בין זוגות חוטים ומחליפות בין הערכים שבהם כדי לסדרם, אם יש צורך. כאשר רשת השוואה מסוימת מצליחה לסדר כל קבוצת ערכים המוכנסת אליה כקלט היא נקראת רשת מיון.

מיון בעזרת רשתות מיון שונה משיטות מיון אחרות בכך שכל רשת יכולה למיין מספר קבוע מראש של קלטים. כלומר אי אפשר לקחת רשת ולהשתמש בה לכל בעיית מיון. היתרון הגדול של רשת מיון הוא שהיא נוחה למיקבול (כלומר לחלוקה למשימות היכולות להתבצע במקביל). כך, כשהמיון נעשה על מחשב המאפשר ביצוע מקבילי ניתן להגיע באופן מעשי לביצועים של $O(lo{g}^{2}n)$, להבדיל מהגבול הנמוך האפשרי עבור מיון טורי של $O(nlogn)$. ישנן גם רשתות הנותנות סיבוכיות תאורטית טובה יותר (לוגריתמית) אך עם קבועים גבוהים מדי כדי לאפשר שימוש מעשי.

רשתות מיון הוצגו לראשונה ב-1954 על ידי ארמסטרונג, נלסון, ואו-קונורתבנית:הערה שהוציאו פטנט על הרעיון.

הגדרה

איור 2: הדגמה של הפעלה של יחידת השוואה ברשת השוואה.

רשת השוואה כוללת שני סוגי רכיבים - חוטים ויחידות השוואה. על החוטים ניתן לחשוב כמעבירים ערכים ה"זורמים" עליהם בו זמנית משמאל לימין. כל יחידת השוואה מקשרת שני חוטים. כשזוג ערכים "מגיע" ליחידת השוואה, היחידה מחליפה את הערכים אם ורק אם הערך הגבוה גדול מהערך הנמוך (במילים אחרות, יחידות ההשוואה מעבירות ערכים גבוהים למטה וערכים נמוכים למעלה)תבנית:הערה.

בעזרת נוסחה ניתן להגדיר שאם החוט העליון נושא ערך $x$ והתחתון ערך $y$ אז אחרי המפגש עם יחידת ההשוואה הערכים על החוטים יהיו $x^{\prime }=min(x,y)$ ו $y^{\prime }=max(x,y)$ בהתאמה. רשת השוואה כזאת שתצליח להוציא (בצד ימין) ערכים ממוינים עבור כל סדר של ערכי קלט (בצד שמאל) נקראת רשת מיון.

הפעלה מלאה של רשת מיון פשוטה מופיעה באיור להלן. קל לראות שרשת זו תצליח למיין כל קלט אפשרי של ארבעה מספרים. שימו לב שארבע יחידות ההשוואה הראשונות "ישקיעו" את הערך הגדול למטה ו"יציפו" את הערך הקטן למעלה. היחידה האחרונה פשוט ממיינת את שני הערכים האמצעיים. תבנית:ש

עומק ויעילות

היעילות של רשת מיון יכולה להמדד ב"גודלה" - כלומר במספר יחידות ההשוואה שבה, או ב"עומקה" - כלומר במספר המקסימלי של יחידות ההשוואה שערך כלשהו עלול להזדקק לעבור דרכם. חלק מההשוואות ברשת יכולות להתבצע במקביל - כפי שמסומן על ידי יחידות השוואה הממוקמות על אותו קו אנכי. אם מניחים שכל השוואה לוקחת יחידת זמן אזי ניתן לראות שעומק הרשת שווה לזמן הדרוש לבצוע המקבילי של המיוןתבנית:הערה.

בניית רשת מיון על ידי הוספת ערכים או על ידי בחירתם

איור 4: הרחבה רקורסיבית של רשת מיון המוסיפה ערך נוסף לאחר המיון (בהשראת מיון הכנסה).

איור 5: הרחבה רקורסיבית של רשת מיון המוסיפה ערך נוסף על ידי "השקעת" הערך המינימלי ואז הפעלת הרשת המקורית (בהשראת מיון בועות).

לכל מספר נתון של קלטים ניתן לבנות רשת מיון עם מספר מתאים של חוטים באופן רקורסיבי על ידי הוספת חוט לרשת קטנה יותר. נניח שנתונה רשת מיון עם $n$ חוטים (כלומר המצליחה למיין כל קלט של $n$ מספרים). ניתן להרחיב את הרשת (בהשראת מיון הכנסה) על ידי הוספת חוט נוסף ובצוע סדרה של השוואות על החוטים שמוינו על ידי הרשת הנתונה (ראו איור 4). ניתן גם להשיג את המטרה (בהשראת מיון בועות) על ידי "השקעה" מוקדמת של הערך המינימלי ואחר כך מיון שאר הערכים בעזרת הרשת הנתונה (ראו איור 5).

המבנה של שתי הרשתות המתקבלות הוא דומה. למעשה אם מסדרים את ההשוואות הניתנות לבצוע מקבילי זו מעל זו אזי ניתן לראות ששתי הרשתות למעשה זהותתבנית:הערה. ראו איורים 6–8.

• 
  איור 6: הרשת המתקבלת בהשארת מיון הכנסה.
• 
  איור 7: הרשת המתקבלת בהשארת מיון בועות.
• 
  איור 8: מיקבול הפעולות מראה ששתי הרשתות שקולות.

לרשתות האלה יש עומק של $2n-3$תבנית:הערה. זהו שיפור על הסיבוכיות של לפחות $\mathrm{\Omega }(n\log n)$ פעולות השוואה הדרושות למיון טורי במקרה הגרוע. למעשה ניתן לבנות רשתות מיון עם סיבוכיות טובה אף יותר ובעלות עומק של $O(lo{g}^{2}n)$ כפי שיתואר להלן.

עקרון אפס-אחד

בכמה מקרים, כמו בבניית רשת על ידי הוספת ערכים או על ידי בחירתם כפי שתואר למעלה, קל להראות שרשת ההשוואה הנוצרת היא רשת מיון. למרות זאת, לגבי רשת כללית ההוכחה שהרשת ממיינת בהצלחה כל קלט אפשרי היא משימה קשה. ברשת בעלת $n$ חוטים יש לבדוק $n!$ סידורים אפשריים של ערכים על החוטים. אפשר להקטין מספר זה במידה משמעותית ל $2^n$ בעזרת עקרון אפס-אחד. זהו עדיין מספר אקספוננציאלי של בדיקות אך הוא קטן מ-$n!$ לכל $n\ge 4$, וההבדל הולך וגדל עם $n$. נראה שלא תמצא דרך יעילה יותר לבעיית הבדיקה אם רשת השוואה היא רשת מיון, אלא אם יסתבר ש־P=NP, כיוון שבעיה זאת ידועה כבעיה co-NP-שלמהתבנית:הערה.

עקרון אפס-אחד קובע שאם רשת השוואה מצליחה למיין את כל $2^n$ סידורי הקלטים עם הערכים 0 ו 1, אזי היא גם תצליח למיין קלטים עם כל ערך בכלל. הוכחת העיקרוןתבנית:הערה בקווים כלליים מראה שאם $f$ היא פונקציה מונוטונית אזי לכל זוג ערכים $x$ ו-$y$ מתקיים $min(f(x),f(y))=f(min(x,y))$ וגם $max(f(x),f(y))=f(max(x,y))$. מכאן נובע שאם רשת ממפה את ערכי הקלט $x$ ו-$y$ ל $x^{\prime }$ ו-$y^{\prime }$, אזי היא גם תמפה את $f(x)$ ו-$f(y)$ ל $f(x^{\prime })$ ו-$f(y^{\prime })$. אפשר להכליל טענה זאת באינדוקציה ללמה הטוענת שאם רשת ממפה את הקלטים $a_1,...,a_n$ ל $b_1,...,b_n$, אזי היא גם תמפה את $f(a_1),...,f(a_n)$ ל $f(b_1),...,f(b_n)$. המשך ההוכחה הוא בדרך השלילה. נניח שהרשת שמצליחה למיין כל סדרת קלטים של 0 ו-1 לא מצליחה למיין את הסדרה $a_1,...,a_n$, כלומר קיימים זוג ערכים כך ש $a_i<a_j$ והרשת מחליפה את ערכיהם שלא כראוי. אם כך, הרשת גם תמיין לא כראוי את סדרת הערכים $f(a_1),...,f(a_n)$ עבור הפונקציה המונוטונית:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if}x>a_i\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

זאת בסתירה להנחה שהרשת ממיינת נכון כל סדרת ערכי 0 ו-1. ומכאן שההנחה שעקרון אפס-אחד לא מתקיים אינה נכונהתבנית:הערה.

עקרון אפס-אחד שימושי גם לבניות של רשתות מיון כיוון שבכל שלב מספיק לוודא שהרשת מצליחה למיין קלטים של 0 או 1.

בניית רשת מיון יעילה

ישנם מספר אלגוריתמים לבניית רשתות מיון פשוטות ויעילות בעלות עומק של $O({\log }^{2}n)$ (ולכן גם גודל של $O(n{\log }^{2}n)$) כמו מיון ביטוניתבנית:הערה, מיון מיזוג זוגי-אי-זוגי של בטשרתבנית:הערה, מיון של, ורשת מיון בזוגותתבנית:אנ. ברשתות אלה נעשה שימוש מעשי.

אפשר גם תאורטית לבנות רשתות מיון עם עומק מעריכי (לוגריתמי) לכל מספר של קלטים, בעזרת מבנה המכונה רשת AKS, על שם מגליו Ajtai, Komlós, Szemerédiתבנית:הערה. זאת הייתה תגלית חשובה אך ללא חשיבות מעשית בשל הקבועים החבויים בנוסחת הסיבוכיות שהם בגודל של "הרבה הרבה אלפים"תבנית:הערה. זאת, בין השאר, בשל השימוש בגרף מרחיב. גרסה פשוטה יותר של רשת AKS הוצגה על ידי פטרסוןתבנית:הערה אך גם כאן הקבועים מונעים כל שימוש מעשי. גודריך הציע בניה של רשת מיון בעלת עומק $O(nlogn)$תבנית:הערה. הקבועים הפעם קטנים בהרבה מאשר ברשתות AKS, אך עומק של $O(nlogn)$ לא נותן יתרון לבצוע מקבילי.

רשתות מיון אופטימליות

עבור מספר קטן של קלטים ניתן לבנות רשתות מיון עם עומק אופטימלי (לבצוע המקבילי ביותר האפשרי) או עם גודל אופטימלי (מספר יחידות ההשוואה). רשתות אלה יכולות לשמש כדי לשפר ביצועים של רשתות גדולות יותר שנבנו באופן רקורסיבי, למשל בשיטת בטשר (ראה מעלה) על ידי עצירה מוקדמת של הרקורסיה והכנסת הרשת האופטימליתתבנית:הערה.

הטבלה להלן מסכמת את התוצאות האופטימליות המוכרות:

תבנית:Mvar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
עומקתבנית:הערה	0	1	3	3	5	5	6	6	7	7	8	8	9	9	9	9	10
גודל, גבול עליוןתבנית:הערה	0	1	3	5	9	12	16	19	25	29	35	39	45	51	56	60	71
גודל, גבול תחתון (אם שונה)תבנית:הערה											33	37	41	45	49	53	58

שש-עשרה הרשתות בעלת עומק מינימלי מופיעות בספר "The Art of Computer Programming" של דונלד קנות' במהדורת 1973תבנית:הערה. האופטימליות של שמונה הרשתות הראשונות הוכחה על ידי פלויד וקנות' בשנות ה-1960, ושל שאר הרשתות רק ב 2014תבנית:הערה (הרשתות של 9 ו-10 קלטים הוכחו כאופטימליות ב 1991תבנית:הערה).

רשתות מיון בעלות גודל מינימלי ידועות עד 10 קלטים. עבור יותר קלטים ידוע גבול עליון של הגודל כפי שמצוין בטבלה. כל עשר הרשתות הנ"ל היו מוכרות כבר משנת 1969 ושמונה הראשונות היו ידועות כאופטימליות מאז עבודתם של פלויד וקנות', אבל האופטימליות של הרשתות של 9 ו-10 קלטים הוכחה רק בשנת 2014תבנית:הערה.

נעשו גם ניסיונות לבנות רשתות מיון בעזרת אלגוריתמים גנטים: קנות' מזכיר שרשתות מיון עבור 9 ו-11 קלטים נמצאו כך על ידי לורן שוויברט ב-2001תבנית:הערה.

קישורים חיצוניים

• רשימת רשתות מיון בגדלים שונים
• Sorting Networks
• Sorting networks and the END algorithm
• Sorting Networks validity