משפט סלוצקי

בתורת ההסתברות, משפט סלוצקי מרחיב כמה מהתכונות של פעולות אלגבריות על סדרות מתכנסות של מספרים ממשיים על סדרות של משתנים מקריים.תבנית:הערה

המשפט נקרא על שם יבגני (אויגן) סלוצקי.תבנית:הערה המשפט מיוחס גם להרלד קרמר.תבנית:הערה

נוסח המשפט

יהו {X_n}, {Y_n} סדרות של משתנים מקריים סקלריים/וקטוריים/מטריציים.

אם X_n מתכנס בהתפלגות למשתנה מקרי $(X_n\stackrel{d}{\to }X)$;

ו-Y_n מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז

• $X_n+Y_n\stackrel{d}{\to }X+c;$
• $X_n{Y}_n\stackrel{d}{\to }cX;$
• $X_n/Y_n\stackrel{d}{\to }X/c,$, כל עוד c הפיך.

כאשר $\stackrel{d}{\to }$ מציין התכנסות בהתפלגות.

הערות

1. הדרישה כי הסדרה Y_n מתכנסת לקבוע היא חשובה — אילו היא הייתה מתכנסת למשתנה מקרי שאיננו מנוון, המשפט לא היה תקף.
2. המשפט נשאר תקף אם נחליף את כל התכנסויות בהתפלגות עם התכנסויות בהסתברות (בשל מאפיין זה).

הוכחה

אם X_n מתכנס בהתפלגות ל-X ו-Y_n מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז הווקטור (X_n, Y_n) מתכנס בהתפלגות אל (X, c) (ראו כאן).

נגדיר לכל אחת ממסקנות המשפט פונקציה:

• $g(x,y)=x+y$,
• $g(x,y)=x\cdot y$,
• $g(x,y)=x\cdot y^{-1}$,

בהתאמה. כל אחת מהפונקציות האלו רציפה (במקרה האחרון, הפונקציה רציפה רק אם y הפיך), והמסקנות נובעות עכשיו ממשפט ההעתקה הרציפה.

ראו גם

• התכנסות (הסתברות)

לקריאה נוספת

• תבנית:Cite book