משוואת זכאי

פרופ' משה זכאי, מפתח "משוואת זכאי" (צולם בינואר 2001)

בתורת הסינון, משוואת זכאי (באנגלית: Zakai equation) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית סטוכסטית תבנית:אנ ליניארית עבור המסנן האופטימלי למערכות לא־ליניאריות.

המשוואה נקראת על שם המפתח שלה, פרופ' משה זכאי מהפקולטה להנדסת חשמל בטכניון, שהגה אותה בסביבות שנת 1967.תבנית:הערה

סקירה כללית

בתאוריית הסינון משוואת זכאי היא משוואה ליניארית דיפרנציאלית חלקית לצפיפות בלתי מנוצלת של המצב הסמוי. לעומתה, משוואת קושנר תבנית:אנ נותנת משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא ליניאריות לצפיפות המנורמלת של המצב.

באופן עקרוני, גישה זו מאפשרת לאמוד פונקציית כמות (מצב של מערכת דינמית) ממדידות רועשות, גם כאשר המערכת אינה ליניארית, ובכך להכליל את התוצאות הקודמות של וינר וקלמן עבור מערכות ליניאריות ופתרון בעיה מרכזית בתורת האמידה.

רקע

בעיית סינון (הפרדת האות מהרעש) של משפחה רחבה של מערכות דינמיות ליניאריות ידועה כמסנן קלמן.תבנית:הערה

בהמשך לזה עלתה בעיה דומה של מציאת המסנן האופטימלי עבור מערכות לא־ליניאריות. התוצאות שהיו ידועות עבור מקרה זה היו מסובכות ביותר.

בסביבות שנת 1967 פיתח הפרופ' משה זכאי משוואה הרבה יותר פשוטה עבור המסנן האופטימלי הידועה כ"משוואת זכאי".תבנית:הערהתבנית:הערה

תוצאה זו מהווה נקודת מפנה למספר רב של מחקרים בשטח זה.תבנית:הערהתבנית:הערה

משוואת זכאי

נניח שמצב המערכת מתפתח בהתאם לפי המשוואה: $$\mathrm{d}x=f(x,t)\mathrm{d}t+\mathrm{d}w$$

מדידת הרעש הנובעת ממצב המערכת זמינה לפי המשוואה: $$\mathrm{d}z=h(x,t)\mathrm{d}t+\mathrm{d}v$$

כאשר $v,w$ הם שני תהליכי Weiner בלתי תלויים, ולכן הגרסה הלא מנורמלת של הפילוג של צפיפות ההסתברות המותנית $p(x|y)$ בזמן $t$ נתונה על ידי:

$$\mathrm{d}p=L(p)\mathrm{d}t+p{h}^T\mathrm{d}z$$

כאשר $L[p]=-\sum \frac{\partial (f_{i}p)}{\partial x_i}+\frac{1}{2}\sum \frac{{\partial }^{2}p}{\partial x_i\partial x_j}$ הוא אופרטור קולמוגורוב הקדמי.

ראו גם

• מסנן קלמן
• מסנן וינר תבנית:אנ

קישורים חיצוניים

• סימולציה של משוואת זכאי (Discretization and Simulation of the Zakai Equation, ינואר 2006)
• "משוואת דאנקן-מורטנסן-זכאי" (האנציקלופדיה למתמטיקה)