שליטה קוהרנטית

שליטה קוהרנטית (coherent control) היא שיטה המבוססת על מכניקת הקוונטים ומטרתה לשלוט בתהליכים דינמיים באמצעות אור. העיקרון הבסיסי בשיטה זו הוא לשלוט על תופעות התאבכות קוונטית, לרוב על ידי עיצוב הפאזה של פולסי הלייזר. הרעיונות העומדים בבסיס השיטה נפוצו ליישומים שונים ומרובים במס ספקטרומטריה, עיבוד מידע קוונטי, קירור באמצעות לייזר, פיזיקה אולטרה-קרה ועוד.

סקירה כללית

הרעיון המקורי העומד מאחורי שליטה קוהרנטית הוא הצורך בשליטה בתוצאה של תגובות כימיות, מה שהביא ליצירתן של שתי גישות:

• במרחב הזמן – גישת "pump-dump", שבה השליטה היא באמצעות העיכוב בזמן בין פולסים
• במרחב התדר – התאבכות של מסלולים, שנשלטת על ידי פוטון יחיד ושלושה פוטונים

שתי שיטות אלה התמזגו לבסוף לכדי יצירתה של תורת שליטה אופטימלית. זמן לא רב לאחר הצגת, התאוריות החלו נתמכות על ידי תוצאות ניסיוניות.

שתי התפתחויות השזורות זו בזו האיצו את תחום השליטה הקוהרנטית: ברמה הניסיונית, היה זה עיצוב הפולסים על ידי מאפנן אור מרחבי ורתימתו לתחום. ברמה התאורטית, היה זה הפיתוח של רעיון השליטה באמצעות היזון אוטומטי (שגם לו הייתה ריאליזציה ניסיונית).

יכולת השליטה

ייעודה של השליטה הקוהרנטית הוא לייצר מערכת קוונטית שמוכוונת ממצב התחלתי אל מצב מטרה כלשהו באמצעות שדה חיצוני. עבור מצב התחלתי ומצב סופי נתונים, השליטה הקוהרנטית מכונה "שליטה ממצב למצב". הכללה לכך ניתן למצוא בהכוונה סימולטנית של סט שרירותי של מצבים התחלתיים טהורים אל סט שרירותי של מצבים סופיים טהורים, כלומר שליטה באמצעות טרנספורמציה אוניטרית. יישום זה מניח את היסודות לאופרטור שער קוונטי.

יכולת השליטה במערכת קוונטית סגורה זכתה להתייחסות מידי טארן וקלארק. המשפט שלהם גורס כי עבור מערכת קוונטית סגורה בעלת ממדים סופיים, המערכת ניתנת לשליטה מוחלטת. דהיינו, טרנספורמציה אוניטרית של המערכת ניתנת לזיהוי על ידי יישום מתאים של השליטה, אם וכאשר אופרטורי השליטה וההמילטוניאן הלא מופרע מייצרים אלגברת לי של כל האופרטורים האוניטריים. יכולת שליטה מוחלטת כמוה כשליטה ממצב למצב.

המשימה החישובית שעניינה מציאת שדה שליטה עבור מעבר ספציפי ממצב למצב היא משימה קשה, והיא הופכת לקשה אף יותר ככל שהמערכת גדלה. משימה זו היא אחת מבין בעיות האינוורסיה בעלות הסיבוכיות החישובית הגדולה ביותר. המשימה האלגוריתמית של מציאת שדה המחולל טרנספורמציה אוניטרית מתכונתי לעצרת של גודל המערכת. זאת, מאחר שעל מספר גדול של שדות שליטה ממצב למצב לא להתאבך עם שדות שליטה אחרים במערכת.

נמצא כי פתרון של בעיות שליטה קוונטית אופטימלית, שקול לפתרון של משוואות דיופנטיות. טענה זו נחזית גם מתוך הפתרון השלילי ל־בעיה העשירית של הילברט (הדנה בבעיות דיופנטיות) לפיו ניתן להסיק שליטה קוונטית אופטימלית איננה יכולה להיות מוחלטת באופן כללי.

בעת הוספת אילוצים למערכת, יכולת השליטה עלולה להידרדר, והדבר ניתן לכימות. לדוגמה אפשר לשאול מהו הזמן המינימלי הנדרש על מנת להשיג מטרה מסוימת באמצעות שליטה, מה שידוע בתור "גבול המהירות הקוונטית".

גישה קונסטרוקטיבית לשליטה קוהרנטית

הגישה הקונסטרוקטיבית עושה שימוש בסט של שדות שליטה שנקבעו מראש ועבורם מתקבלות תוצאות ידועות.

סכמת ה"pump dump" במרחב הזמן, שהומצאה על ידי דוד טנור, רוני קוזלוב וסטיוארט רייס (אנ'), וסכמת ההתאבכות של שלושה פוטונים כנגד אחד במרחב התדר, הן הדוגמאות הבולטות המייצגות גישה זו. גישה קונסטרוקטיבית נוספת מתבססת על אדיאבטיות: מעבר ראמאן אדיאבטי מאולץ (STIRAP) משתמש במצב עזר על מנת לקבל שליטה מוחלטת במעבר ממצב למצב.

שליטה אופטימלית

שליטה אופטימלית מחפשת אפוא את שדה השליטה האופטימלי הנדרש עבור הכוונת מערכת קוונטית אל המטרה. עבור שליטה ממצב למצב, המטרה מוגדרת כחפיפה המקסימלית של פונקציית הגל בזמן סופי $T$ עם המצב הסופי $|{\varphi }_f⟩$ אליו מוכוונת המערכת (המצב ההתחלתי היה $|{\varphi }_i⟩$:

$J=|⟨\psi (T)|{\varphi }_f⟩{|}^2$

להמילטוניאן התלוי בזמן, האמון על השליטה במערכת, ישנה הצורה האופיינית הבאה:

$H(t)=H_0+\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{ϵ}(t)$

כאשר $\overrightarrow{ϵ}(t)$ הוא שדה השליטה ו-$\mu$ אופרטור הדיפול.

שליטה אופטימלית מתרחשת כאשר ישנו פתרון למשוואה מסוימת עבור השדה $\overrightarrow{ϵ}(t)$, תוך שימוש בחשבון וריאציות ובכופלי לגראנז'. נכתוב פונקציונל חדש, המוגדר כך:

$J^{\prime }=J+\underset{0}{\overset{T}{\int }}⟨\chi (t)|(i\frac{\partial }{\partial t}-H(\overrightarrow{ϵ}(t)))|\psi (t)⟩dt+\lambda \underset{o}{\overset{T}{\int }}|\overrightarrow{ϵ}(t){|}^{2}dt$

כאשר $|\chi ⟩$ הוא כופל לגראנז' דמוי פונקציית גל, ו-$\lambda$ הוא פרמטר האחראי על גודל האינטגרל. וריאציה של הפונקציונל $J^{\prime }$ ביחס ל-$\delta ϵ$ ול-$\delta \psi$ מוביל לקבלתן של שתי משוואות שרדינגר מצומדות: משוואת שרדינגר ישירה עבור $|\psi ⟩$ עם תנאי ההתחלה $|\psi (0)⟩=|{\varphi }_i⟩$, ומשוואה הפוכה עבור כופל הלגראנז' $|\chi ⟩$ עם תנאי סיום $|\chi (T)⟩=|{\varphi }_f⟩$.

מציאת פתרון למשוואות אלה דורשת שימוש בגישה איטרטיבית. יש ליישם אלגוריתמים שונים על מנת לקבל את שדה השליטה, דוגמת שיטת קרוטוב.

כמו כן, פותחה שיטה חלופית שהיא לוקאלית בזמן, ובה בכל צעד זמן, השדה מחושב כך שהוא מכוון את המצב למטרה. שיטה נוספת שקשורה לכך, נקראת "מעקב" (tracking).

יישומים ניסיוניים

בין יישומיה של שליטה קוהרנטית ניתן למנות:

• תגובות כימיות חד-מולקולריות ודו-מולקולריות
• פוטו-איזומריזציה ביולוגית של רטינל
• תהודה מגנטית גרעינית
• חומר קר עבור פוטו-אסוציאציה
• עיבוד מידע קוונטי
• פיזיקה של אטו-שניות

בהיותה אבן פינה שאפשרה פריצות דרך בטכנולוגיות קוונטיות, שליטה קוהרנטית אופטימלית עודנה ממשיכה להתפתח ולהתרחב לתחומים מגוונים בפיזיקה, בכימיה ואף בדימות רפואי.