קונטרה פוזיטיב

בלוגיקה, עקרון הקונטרה פוזיטיב (באנגלית: Contrapositive) קובע שמצב שבו טענה $a$ גוררת לוגית מסקנה $b$, שקול טאוטולוגית למצב בו שלילת המסקנה $\mathrm{\neg }b$ גוררת את שלילת הטענה המקורית $\mathrm{\neg }a$.תבנית:הערה

בכתיב מתמטי: $a\to b⟺\mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a$.

הביטוי הימני הוא הקונטרה פוזיטיב של הביטוי השמאלי, ואחד מהם מתקיים אם ורק אם האחר מתקיים.תבנית:הערה תבנית:תוכן שמאל

הסבר

דוגמה

נתון ש־תבנית:ציטוטון.

שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב על המשפט יוביל למסקנה שאם אני לא לובש מעיל, אז בהכרח לא יורד גשם – כי אילו היה יורד גשם, בהכרח הייתי לובש מעיל.

הצרנה של התהליך תהיה:

• $a$ – תבנית:ציטוטון
• $b$ – תבנית:ציטוטון

היות שנתון $a\to b$ (תבנית:ציטוטון) אז מתקיים גם הקונטרה פוזיטיב של הנתון, $\mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a$ (תבנית:ציטוטון).

המחשה חזותית

קבוצה A מוכלת ב־B, או במילים אחרות, כל האיברים ששייכים ל־A שייכים גם ל־B.

בדיאגרמת ון שבתמונה, אם איבר $x$ שייך לקבוצה $A$, הוא בהכרח גם שייך ל־$B$.

כשמסמנים $\begin{array}{c}a=\text{“}x\in A\text{”}\\ b=\text{“}x\in B\text{”}\end{array}$, הטענה הזו נכתבת $a\to b$. כך שעל פי עקרון הקונטרה פוזיטיב בהכרח $\mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a$.

במילים אחרות, אם $x$ לא שייך ל־$B$ אז הוא גם לא שייך ל־$A$. ואכן, על פי התמונה אם איבר נמצא מחוץ ל־$B$ אז הוא בהכרח מחוץ ל־$A$ – כי כל איבר בתוך $A$ הוא גם בתוך $B$.

הוכחה

הוכחה לשקילות הטאוטולוגית בין שני הפסוקים באמצעות לוח אמת פשוט:תבנית:הערה

$$a\to b⟺\mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a$$

$\mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a$	$\mathrm{\neg }a$	$\mathrm{\neg }b$	$a\to b$	$b$	$a$
T	F	F	T	T	T
F	F	T	F	F	T
T	T	F	T	T	F
T	T	T	T	F	F

עמודת ה־$a\to b$ שווה לעמודת ה־$\mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a$ בכל צירוף ערכים אפשרי של $a,b$, כלומר שהביטויים שקולים טאוטולוגית:

$a\to b\equiv \mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a$

$◼$

שימושים

מודוס טוֹלֶּנְס

תבנית:הפניה לערך מורחב עקרון המודוס טולנס קובע שאם נתון $a\to b$ ו־$\mathrm{\neg }b$, אזי גם $\mathrm{\neg }a$.תבנית:הערה

עיקרון זה מוכח על ידי שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב כטאוטולוגיית בסיס. המעבר לכלל ההיסק הבא מתבצע תוך שימוש במודוס פוננס, שקובע שמרגע שקיימת גרירה $p\to q$, והרישא $p$ אמת, אז גם הסיפא $q$ אמת.

• נתון $a\to b$, ולכן על פי הקונטרה פוזיטיב מתקיים $\mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a$.
• היות שנתון $\mathrm{\neg }b$, על פי עקרון המודוס פוננס והמסקנה הקודמת ($\mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a$), גם הסיפא $\mathrm{\neg }a$ מתקיימת.
• מכאן שבצירוף הנתונים $a\to b$ ו־$\mathrm{\neg }b$ אכן ניתן להסיק את $\mathrm{\neg }a$, כך שעקרון המודוס טולנס מתקיים.תבנית:הערה|

תנאים הכרחיים

תבנית:הפניה לערך מורחב עקרון המודוס טולנס הוא זה שמאפשר את קיומם של תנאים הכרחיים – טענות שאם הן לא מתקיימות, ניתן להסיק בוודאות שטענה אחרת גם היא לא מתקיימת.

$b$ הוא תנאי הכרחי לקיומה של טענה $a$ אם $a\to b$. במצב שבו התנאי אינו מתקיים, כלומר $\mathrm{\neg }b$, אזי על פי הקונטרה פוזיטיב ועקרון המודוס טולנס שנובע ממנו, בהכרח הטענה $a$ אינה נכונה, ומתקיים $\mathrm{\neg }a$. במילים אחרות – התנאי הכרחי, מפני שאם הוא לא מתקיים, אזי גם הטענה בהכרח לא מתקיימת.תבנית:הערה

למשל, נתון ש־”אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל“, ובנוסף ש־”אני לא לובש מעיל“. לכן, בהכרח גם לא יורד גשם. יש הכרח שתתקיים הטענה ”אני לובש מעיל“, מפני שאילולא כן, בוודאות ”לא יורד גשם“. הגרירה לא בהכרח נכונה בכיוון ההפוך, מכיוון שיכולה להתקיים הטענה ”אני לובש מעיל“ מבלי שירד גשם.

ראו גם

• גרירה לוגית
• הוכחה

לקריאה נוספת

• תבנית:קישור כללי
• תבנית:קישור כללי
• Audun Jøsang, 2016, Subjective Logic; A formalism for Reasoning Under Uncertainty Springer, Cham, תבנית:ISBN