מספר פיתגורס

באריתמטיקה של שדות, מספר פיתגורס של שדה שווה למספר הריבועים הנחוץ להצגת כל סכום של ריבועים בשדה. מקובל לסמן את מספר פיתגורס של השדה F ב-p(F). כתכונות אריתמטיות רבות אחרות, מספר פיתגורס של שדות עשוי להיות קשה לחישוב. הערך של מספר פיתגורס הוא 1 אם ורק אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע, כלומר השדה הוא שדה פיתגורי.

מספר פיתגורס של שדות שאינם סדורים

אפשר לסדר שדה אם ורק אם 1- אינו סכום של ריבועים. אם השדה F אינו ניתן לסידור, הגובה שלו הוא מספר הריבועים הנחוץ להצגת 1-. ידוע שהגובה, s(F), הוא תמיד חזקה של 2. עבור שדות שאינם ניתנים לסידור, $s(F)\le p(F)\le s(F)+1$. מספר פיתגורס של שדה טורי לורן $ℂ((t))$ הוא 2.

שדות מקומיים ושדות גלובליים

מספר פיתגורס של שדה המספרים הרציונליים הוא 4 (זהו משפט ארבעת הריבועים של לגרנז', בצירוף העובדה ש-7 אינו ניתן להצגה כסכום של שלושה ריבועים). בכל שדה מקומי, ובכל שדה מספרים שאינו ניתן לסידור, מתקיים $p(F)=\min (s(F)+1,4)$. בשדה מספרים K הניתן לסידור, מספר פיתגורס הוא 3 אם לכל ראשוני דיאדי הממד של $K_P$ מעל שדה המספרים ה-2-אדיים ${\mathbb{Q}}_2$ זוגי, ו-4 אחרת.

הרחבות סופיות

אם K/F הרחבה סופית של שדות ניתנים לסידור, אז $2\le p(K)\le [K:F]p(F)$.

שדות פונקציות

ההתנהגות של מספר פיתגורס עם המעבר לשדה פונקציות אינה ברורה. לא ידוע אפילו האם $p(K(x))$ סופי לכל שדה K שמספר פיתגורס שלו סופי.

חישוב מספר פיתגורס של שדה הפונקציות $ℝ(x_1,\dots ,x_n)$ קשור בבעיה ה-17 של הילברט. ידוע שהמספר הזה אינו עולה על $2^n$; זה נכון לכל שדה שדרגת הטרנסצנדנטיות שלו מעל שדה סגור ממשית (כגון שדה הממשיים $ℝ$) היא n. ידוע ש-$p(ℝ(x))=2$ (ואפילו $\tilde{p}(ℝ)=2$, ראו להלן), ו-$p(ℝ(x_1,x_2))=4$. עבור n>2 ידוע רק ש-$n+2\le p(ℝ(x_1,\dots ,x_n))\le 2^n$.

בדומה לזה, ידוע ש- $p(\mathbb{Q}(x_1,\dots ,x_n))\le 2^{n+1}$ לכל n>=2 (Jansen). עבור n=1 ידוע ש-$p(\mathbb{Q}(x))=5$ (Pourchet, 1971). באופן כללי יותר, לכל שדה מספרים ניתן לסידור K מתקיים $p(K(x))\ge p(K)+1$; ולכל שדה מספרים K שאינו ניתן לסידור, $p(K(x))\ge s(K)+1$. עבור $F={\mathbb{Q}}_{\mathrm{pyth}}$, הסגור הפיתגורי של שדה המספרים הרציונליים, $p(F(x))\in \{3,4\}$.

מסמנים ב-$\tilde{p}(F)$ את הסופרימום של מספרי פיתגורס של ההרחבות הטרנסצנדנטיות מדרגה 1 של F. ידוע ש-$\tilde{p}(F)=s(F)+1$ אם F אינו ניתן לסידור; $\tilde{p}(\mathbb{Q})\in \{5,6\}$ (Pop, 1991); $\tilde{p}(ℝ((t)))=3$.