טיוטה:מרחב סובולב

באנליזה מתמטית, מרחבי סובולב $W^{k,p}$ הם מרחבי פונקציות המוגדרים על ידי ההשלמה של מרחבי הפונקציות הגזירות ביחס לנורמת $L^p$. הם בעלי חשיבות רבה לאנליזה מתמטית ובמיוחד לתחום של משוואות דיפרנציאליות חלקיות. הם נקראים על שמו של המתמטיקאי הרוסי סרגי סובולב.

נגזרות חלשות

תהי $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ קבוצה פתוחה. יהי $f$ פונקציה גזירה $k$ פעמים ברציפות, בהינתן פונקציית בוחן $g\in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, אנו מקבלים מאינטגרציה בחלקים, לכל מולטי-אינדקס $\alpha =(m_1,..m_k)$ כאשר $1\le m_i\le n$: $$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f{D}^{\alpha }gdx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }g{D}^{\alpha }fdx$$ נגדיר שיכון של $L^1(\mathrm{\Omega })\to (C_c(\mathrm{\Omega }){)}^{*}$ על ידי הזיווג $⟨g,f⟩:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }gfdx$. עם סימון זה הנוסחא הופכת ל-$$.⟨g,D^{\alpha }f⟩=(-1{)}^{|\alpha |}⟨D^{\alpha }g,f⟩$$נבחין כי צד ימין הוא פונקציונל ליניארי שתלוי רק ב-$f$, ומזדהה עם התמונה של $D^{\alpha }f$ תחת השיכון שתואר לעיל. שוויון זה מציע את ההגדרה הבאה: תהא $f$ אינטגרבילית מקומית, נגדיר את הנגזרת החלשה של $f$ מסדר $\alpha$ (אם היא קיימת) כפונקציה האינטגרבילית מקומית $u$ שמקיימת

$$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f{D}^{\alpha }gdx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }gudx$$

לכל פונקציית בוחן $g$. נבחין כי אם $u$ קיימת אז היא מוגדרת ביחידות כמעט בכל מקום.

הגדרה

נסמן ב-$W^{k,p}$ את מרחב הפונקציות ב-$L^p$ עם נגזרת חלשה מסדר $\alpha$ ב-$L^p$ לכל $|\alpha |\le k$. ישנן כמה דרכים שקולות לתת ל-$W^{k,p}$ מבנה של מרחב נורמי, ביניהן: $$||f|{|}_{W^{k,p}}=\sum _{|\alpha |\le k}||D^{\alpha }f|{|}_{L^p}$$ $$||f|{|}_{W^{k,p}}=\underset{|\alpha |\le k}{\max }||D^{\alpha }f|{|}_{L^p}$$ $$||f|{|}_{W^{k,p}}=\sqrt[p]{\sum _{|\alpha |\le k}||D^{\alpha }f|{|}_{L^p}^p}$$

כאשר הסכום נלקח על כל המולטי-אינדקסים באורך לכל היותר $k$. תחת נורמת המכפלה המתאימה, נוכל לזהות את $W^{k,p}$ כתת-מרחב סגור של $(L^p{)}^N$ עבור $N$ מספיק גדול. עבור $p=2$ הנורמה השלישית מתאימה למבנה של מרחב מכפלה פנימית על $W^{k,2}$, שהופך את $W^{k,2}$ למרחב הילברט.

מאי שוויון הלדר, אם $f_n\to f$ ו-$D^{\alpha }{f}_n\to u$, כאשר ההתכנסות היא ב-$L^p$, אז $u=D^{\alpha }f$, ולכן $W^{k,p}$ הוא תת-מרחב סגור של המרחב $(L^p{)}^N$, ועל כן אנו רואים כי $W^{k,p}$ מרחב בנך והוא רפלקסיבי עבור $p\in (1,\mathrm{\infty })$.

המרחב $C^{\mathrm{\infty }}(\overline{\mathrm{\Omega }})$ צפוף ב-$W^{k,p}$, ועל כן $W^{k,p}$ היא ההשלמה של $C^{\mathrm{\infty }}(\overline{\mathrm{\Omega }})$ ביחס לנורמה $||\cdot |{|}_{W^{k,p}}$. ההשלמה של תת-המרחב $C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ ב-$W^{k,p}$ מסומנת על ידי $W_0^{k,p}$.

לקריאה נוספת

Evans, Lawrence C. (2010) [1998]. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). American Mathematical Society. p. 749. תבנית:ISBN.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld