כוח ביירקנס

כוחות ביירקנס הם כוחות העתקה הנוצרים על בועות המצויות בשדה לחץ. כוחות ביירקנס עיקריים נגרמים באופן ישיר מהשפעת שדה הלחץ; כוחות ביירקנס משניים נגרמים משדה הלחץ שמייצרות הבועות עצמן בעקבות התנודות בנפחן. הכוחות תוארו לראשונה על ידי Vilhelm Bjerknes ב-1906 ב-"Fields of Force".

כוח ביירקנס עיקרי

כוח ההעתקה הפועל על בועה ספרית בשדה לחץ הוא:

$F=-V\mathrm{\nabla }P$

כאשר $V$ הוא נפח הבועה ו-$\mathrm{\nabla }P$ הוא גרדיאנט שדה הלחץ.

במקביל, בועה המצויה בשדה לחץ תשנה את נפחה בהתאם למשוואת ריילי פלאסט.

בגבול שדה לחץ חלש ניתן לקרב את רדיוס הבועה למתנד הרמוני מאולץ. התדירות העצמית המתקבלת מליניאריזציה של משוואת ריילי פלאסט תלויה ברדיוס המנוחה של הבועה $R_0$:

${\omega }_0^2=\frac{1}{\rho R_0^2}\left(3\kappa \right(P_0-P_V)-2(3\kappa -1)\frac{\sigma }{R_0})$

כאשר $R_0$ רדיוס המנוחה של הבועה, $P_0$ הלחץ ההידרוסטטי, $P_V$ לחץ האדים, $\rho$ צפיפות הנוזל, $\sigma$ מקדם מתח הפנים ו-$\kappa$ הוא הקבוע הפוליטרופי.

בהינתן שדה לחץ הנוצר מגל קול עומד $P(t)=P_0+P_{d}sin(kx)cos({\omega }_{d}t)$ הממוצע הזמני של כוח ההעתקה $⟨F⟩=-⟨V\mathrm{\nabla }P⟩$ לא מתאפס ותלוי במיקום $x$. על סמך תאוריה של מתנד הרמוני מאולץ ניתן לבחון שני מצבים:

בראשון, ${\omega }_0<{\omega }_d$ והבועה תנועה לנקודות הצומת (nodes). בשני ${\omega }_0>{\omega }_d$ והבועה תנועה לנקודות הטבור (anti nodes).

התלות של${\omega }_0$ ב-$R_0$ מובילה להגדרת $R_c$ כך שבועות בעלות רדיוס מנוחה גדול מ-$R_c$ ינועו לנקודות הצומת ובועות בעלות רדיוס מנוחה קטן מ-$R_c$ ינועו לנקודות הטבור.

כוח ביירקנס משני

כוח ביירקנס משני הוא כוח משיכה או דחייה הנוצר בין בועות המתנודדות תחת שדה לחץ חיצוני. בגבול תנודות חלשות מתקבל הביטוי:

$F_{B2}=\frac{\rho }{4\pi r^2}⟨\dot{V_1}\dot{V_2}⟩\hat{r}$

כאשר

$r$

זהו המרחק בין הבועות,

$\rho$

צפיפות הנוזל ו-

$V_i$

נפח הבועה ה-

$i$

.

אם מניחים שרדיוס הבועות מתנהג כמתנד הרמוני (${\delta }_i\ll R_i$):

$R_1(t)=R_{01}+{\delta }_{1}sin(\omega t)$

$R_2(t)=R_{02}+{\delta }_{2}sin(\omega t+\varphi )$

מתקבל הביטוי:

$F_{B2}=-\frac{2\pi \rho {\omega }^2{\delta }_1{\delta }_2{R}_{01}^2{R}_{02}^2}{r^2}cos(\varphi )\hat{r}$

כלומר, סימן הכוח נקבע לפי הפאזה היחסית בין התנודות.