בינום

תבנית:סימון מתמטי באלגברה אלמנטרית, בינוֹם (בעברית: דו־איברתבנית:הערה) הוא פולינום המורכב משני איברים או מונומים.

הגדרה

בינום הוא פולינום שהוא סכום של שני מונומים. בינום במשתנה יחיד נכתב בצורה

$a{x}^m-b{x}^n$

כאשר תבנית:Math ו־תבנית:Math הם מספרים, ו־תבנית:Math ו־תבנית:Math הם מספרים שלמים לא־שליליים ו־תבנית:Math הוא סמל שנקרא משתנה. בהקשר של פולינום לורן תבנית:אנ, בינום לורן, המכונה לעיתים קרובות בפשטות בינום, מוגדר באופן דומה, אך המעריכים תבנית:Math ו־תבנית:Math עשויים להיות שליליים.

באופן כללי יותר בינום הוא מהצורה

$a{x}_1^{n_1}\cdots x_i^{n_i}-b{x}_1^{m_1}\cdots x_i^{m_i}$

דוגמאות

$3x-2x^2$

$xy+y{x}^2$

$0.9x^3+\pi y^2$

$2x^3+7$

פעולות בבינומים פשוטים

• בינום מהצורה תבנית:Math ניתן לפירוק לגורמים כמכפלה של שני בינומים:

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

זהו מקרה פרטי של הנוסחה הכללית יותר:

$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^n{x}^k{y}^{n-k}$.

במספרים מרוכבים הנוסחה ניתנת להרחבה ל־

$x^2+y^2=x^2-(iy{)}^2=(x-iy)(x+iy)$.

• המכפלה של שני בינומים ליניאריים תבנית:Math ו־תבנית:Math היא טרינום:

$(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$.

תחילתו של משולש פסקל

• בינום בחזקה ה־תבנית:Math־ית, המיוצג כ־תבנית:Math ניתן להרחבה באמצעות משפט הבינום או לחלופין באמצעות משולש פסקל. דוגמה: הריבוע תבנית:Math של הבינום תבנית:Math מקיים:

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$.

המספרים (1, 2, 1) המופיעים כמקדמים בנוסחה זו הם המקדמים הבינומיים בשורה השנייה שמתחת לקודקוד במשולש פסקל. הפיתוח של החזקה ה־תבנית:Math־ית משתמש במספרים בשורה ה־תבנית:Math שמתחת לקודקוד במשולש פסקל.

• מימוש של הנוסחה דלעיל בה לידי ביטוי בנוסחה ליצירת שלשות פיתגוריות:

עבור תבנית:Math, יהי תבנית:Math, תבנית:Math, ו־תבנית:Math; ומתקיים תבנית:Math.

• בינומים שהם סכום של חזקות שלישיות ניתנים לפירוק לפולינומים ממעלה נמוכה יותר כדלקמן:

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

ראו גם

• השלמה לריבוע
• הבינום של ניוטון
• התפלגות בינומית

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld