מטריצה אנטי-סימטרית

תבנית:סימון מתמטי במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטרית (באנגלית: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix)תבנית:הערהתבנית:הערה היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאיתבנית:הערה:

$A^{\mathrm{\top }}=-A$

במונחי הרכיבים של המטריצה, אם $a_{ij}$ מציין את הערך בשורה ה־$i$ ובעמודה ה־$j$, אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־

$\mathrm{\forall }i,j:a_{ji}=-a_{ij}$

תכונות

• אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי. בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
• כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
  • הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא $n(n-1)/2$.
  • הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס.
• הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i).
• בפרט, אם $A$ היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית $I+A$ היא מטריצה הפיכה, כאשר $I$ היא מטריצת היחידה.
• אם $A$ היא מטריצה אנטי סימטרית $A^2$ היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite).
• מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות.

שימושים

מכפלה וקטורית

ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים $𝐚={\left(a_1{a}_2{a}_3\right)}^{\mathrm{\top }}$ ו-$𝐛={\left(b_1{b}_2{b}_3\right)}^{\mathrm{\top }}$, מוגדרת המטריצה:

$[𝐚{]}_{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]$

ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור

$𝐚\times 𝐛=[𝐚{]}_{\times }𝐛$

ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.

הגדרת מטריצת סיבוב

בהינתן $\overrightarrow{\varphi }$, וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב $R$ המתאימה תהיה:

$R=e^{-[\varphi {]}_x}$

הכללות

ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת.

ראו גם

• מטריצה סימטרית

לקריאה נוספת

• תבנית:Cite book
• תבנית:Cite journal

קישורים חיצוניים

• תבנית:יוטיוב
• תבנית:Cite web
• תבנית:Cite web
• תבנית:Cite journal Fortran Fortran90
• תבנית:MathWorld