הלמה של יונדה

הלמה של יונדה היא תוצאה יסודית בתורת הקטגוריות המראה כיצד אובייקט בקטגוריה נקבע לפי המורפיזמים ממנו לשאר האובייקטים בקטגוריה.

פונקטורים יציגים וניסוח לא פורמלי

תהא $𝒞$ קטגוריה ויהא $c$ אובייקט ב-$𝒞$. ההעתקה

$h_c:𝒞\to (Sets)$

המוגדרת על ידי $h_c(d)=Ho{m}_{𝒞}(c,d)$ מגדירה פונקטור בין $𝒞$ לבין הקטגוריה של קבוצות. גרסה חלקית של הלמה של יונדה אומרת שכל המידע שיש על האובייקט $c$ נמצא בפונקטור $h_c$. בניסוח מדויק יותר, הטענה היא שההעתקה $c\mapsto h_c$ מהקטגוריה $𝒞$ לקטגוריה $Func(𝒞,(Sets))$ של פונקטורים מ-$𝒞$ לקטגורית הקבוצות היא שיכון (פונקטור מלא ונאמן), כלומר שההעתקה

$Ho{m}_{𝒞}(c,d)\to Nat(h_c,h_d)$

היא חד חד ערכית ועל.

הניסוח המלא מאפשר להחליף את הפונקטור $h_d$ בפונקטור כללי.

ניסוח פורמלי

תהא $𝒞$ קטגוריה, יהא $c$ אובייקט של $𝒞$, ויהא $F$ פונקטור מ-$𝒞$ לקטגורית הקבוצות. אזי יש איזומורפיזם טבעי

$Nat(h_c,F)\cong F(c)$

קישורים חיצוניים

https://www.math3ma.com/blog/the-yoneda-lemma