פעולת בסיס

במתמטיקה, פעולת בסיס היא רכיב עבור "מרחב פעולות", אשר מוגדר כאוסף של פעולות בו כל פעולה היא שילוב ליניארי של פעולות בסיס.

סט בסיס

אוסף של פעולות בסיס שיכולים להיות מצורפים במגוון דרכים כדי לייצג כל פעולה שנמצאת בסט הזה.

סוגים של פעולות בסיס

נסמן פעולת בסיס באות היוונית "פי" Φ.

גרף פולינומי בדרגה 3

פולינום:

ϕ_j (x_i,j)=x_i,j^j

גרף של הפונקציה ההיברידית $f(x)=\{\begin{array}{ccc}-3-x& \text{if}& x\le -3\\ x+3& \text{if}& -3\le x\le 0\\ 3-2x& \text{if}& 0\le x\le 3\\ 0.5x-4.5& \text{if}& 3\le x\end{array}$

פונקציית גאוס:

ϕ_j (x_i,j)=e^{(x_i,jj - μ_j2)/2σ2}

כאשר:

μ- מתאר מיקום

σ² - מתאר רוחב

סיגמואיד:

ϕ_j (x_i,j)=σ((x_i,j-μ_j)/s)

פונקציה מחזורית:

f(x)=f(x+nk),kϵN

פונקציה היברידית:

פונקציה שהתחום שלה מחולק למספר אינטרוולים שבכל אחד מהם הפונקציה מוגדרת אחרת.

לדוגמה:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\exp (-\frac{1}{1-x^2}),& x\in (-1,1)\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

דוגמאות

• i, j, k הם הסט בסיס של המערכת צירים קרטזית, כלומר עם שלושתם ביחד אפשר לייצג בעזרת צירופים ליניאריים שלהם כל וקטור במערכת.

כאשר:

i =(1,0,0)

j =(0,1,0)

k =(0,0,1)

• sin(x), cos(x) הם פעולות בסיס מסוג פונקציה מחזורית, שילובים ליניאריים שלהם מגדיר סט בסיס - למשל טור פורייה.

סט בסיס במכניקה קוונטית

שימוש פופולרי בסט בסיס הוא במכניקה קוונטית, בה מתארים את פונקציית הגל בשיטות שונות כמו שיטת הרטרי-פוק או תורת פונקציונל הצפיפות על מנת להפוך את המשוואות דיפרנציאליות חלקיות של השיטות למשוואות אלגבריות שיתאימו למחשב לפתור. סט הבסיס במכניקה קוונטית הוא סט של מצבים שמתארים את המרחב הילברט שמתאים למערכת. בוחרים את סט הבסיס לפי תכונות וסימטריית המערכת. מערכת שמשתמשים בה הרבה היא סט בסיס של אורביטל מולקולרי.

פעולות הבסיס שמרכיבות את הסט בסיס הם פעולות של חלקיק אחד - אורביטל אטומי למשל. את פעולות הבסיס בוחרים לפי סט הבסיס שרוצים להגיע אליו.

סטים של פעולות בסיס במכניקה קוונטית

• אורביטלים מסוג סלייטר (STO’s – Slater Type Orbitals) - הפתרונות של משוואת שרדינגר באטומים מימניים, סט בסיס זה הוא המיושן יותר מהאפשרויות, הוא יותר מדויק אך לוקח הרבה מאוד זמן לחשבו.

ϕ_abc^STO (x,y,z)=Nx^a y^b z^c e^-ζr

כאשר:

N - קבוע הנורמליזציה

a,b,c - שולטים על המומנטום הזוויתי: L=a+b+c

ζ - שולטת ברוחב האורביטל

r - המרחק הרדיאלי מגרעין האטום

• אורביטלים מסוג גאוס (GTO’s – Gaussian Type Orbitals) - פחות מדויקים מאורביטלים מסוג סלייטר אך לוקח הרבה פחות זמן לחשבם.

ϕ_abc^GTO (x,y,z)=Nx^a y^b z^c e^-ζr2

• ניתן לעשות קירוב ליניארי של אורביטלים מסוג סלייטר בעזרת אורביטלים מסוג גאוס (מסומן ב-CGTO-Contracted Gaussian Type Orbitals או ב-STO-CG-Slater Type Orbitals-Contracted Gaussians), קירוב זה הוא הפשרה בין השניים - מדויק מספיק ולא לוקח הרבה זמן לחישוב.

ככל שמשתמשים ביותר GTO’s לקירוב כך הדיוק יותר טוב.

ϕ_abc^CGTO (x,y,z)=N∑_i=1ⁿ c_ix^a y^b z^c e^{-ζ_i r2}

סוגים של סט בסיס במכניקה קוונטית

• מינימלי: פעולת בסיס אחת לכל אורביטל באטום.
• זיטה כפול: שתי פעולות בסיס לכל אורביטל באטום.
• זיטה משולש: שלוש פעולות בסיס לכל אורביטל באטום.

וכך הלאה, נסמן את הסוג לפי מספר הזיטה (QZ), למשל, לזיטה מחומשת-5Z.