אלומה קוואזי-קוהרנטית

במתמטיקה, במיוחד בגאומטריה אלגברית, אלומה קוואזי-קוהרנטית על מרחב מחויג $(X,{𝒪}_X)$ היא אלומת ${𝒪}_X$-מודולים בעלת הצגה מקומית על-ידי יוצרים ויחסים. למושג זה יש הגדרה הרבה יותר מוחשית במקרה חשוב של סכמות. אלומות קוואזי-קוהרנטיות על סכמה מהוות קטגוריה אבלית.

הגדרה הסטנדרטית

יהי $(X,{𝒪}_X)$ מרחב מחויג ותהי $F$ אלומה של ${𝒪}_X$-מודולים. האלומה $F$ נקראת קוואזי-קוהרנטית אם לכל $x\in X$ קיימת סביבה פתוחה $U\ni x$ יחד עם סדרה מדויקת של ${𝒪}_U$-מודולים $${𝒪}^I\to {𝒪}^J\to F{|}_U\to 0,$$ כאשר $I,J$ קבוצות, לא בהכרח סופיות.תבנית:הערה

מורפיזמים של אלומות קוואזי-קוהרנטיות הם פשוט מורפיזמים של אלומות של ${𝒪}_X$-מודולים. במקרה של מרחב מחויג כללי הקטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות לא בהכרח אבלית, לכן השימוש במושג אלומות קוואזי-קוהרנטיות בכלליות רחבה זאת אינו נפוץ. לעומת זאת, עבור סכמות, מושג זה מהווה כלי חשוב בגאומטריה אלגברית.

אלומות קוואזי-קוהרנטיות על סכמות

סכמות אפיניות

תבנית:הפניה לערך מורחב תהי $(X,{𝒪}_X)$ סכמה אפינית. זה אומר כי $X=Spec(A)$ כאשר $A=\mathrm{\Gamma }(X,{𝒪}_X)$ חוג החתכים הגלובליים. כל $A$-מודול $M$ מגדיר אלומת ${𝒪}_X$-מודולים $\tilde{M}$ כך שלמשל ${𝒪}_X=\tilde{A}$. האלומה $\tilde{M}$ קוואזי-קוהרנטית והתאמה זאת מגדירה שקילות בין קטגורית $A$-מודולים לבין קטגורית האלומות הקוואזי-קוהרנטיות על $X=Spec(A)$.

סכמות כלליות

תהי $(X,{𝒪}_X)$ סכמה כללית. כיוון שתכונה להיות אלומה קוואזי-קוהרנטית נבדקת באופן מקומי, אנחנו מסיקים כי אלומת ${𝒪}_X$-מודולים $F$ קוואזי-קוהרנטית אם ורק אם לכל תת-קבוצב פתוחה אפינית $U\subset X$ הצמצום $F{|}_U$ הוא איזומורפי ל-$\tilde{M}$ כאשר $M=\mathrm{\Gamma }(U,F)$.תבנית:הערה

תכונות של קטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות

• קטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות היא קטגוריה אבלית בעלת מספיק אובייקטים אינייקטיביים
• מכפלה טנזורית של אלומות קוואזי-קוהרנטיות היא קוואזי-קוהרנטית.
• אם $F$ אלומה קוהרנטית ואם $G$ אלומה קוואזי-קוהרנטית, אז האלומה$\mathscr{H}om(F,G)$ גם היא קוואזי-קוהרנטית.

לקריאה נוספת

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. תבנית:ISBN.

ראו גם

• אלומה קוהרנטית

קישורים חיצוניים

• אלומה קוואזי-קוהרנטית ב-Stacks Project
• תבנית:אנציקלופדיה למתמטיקה
• Andreas Gathmann, Quasi-coherent Sheaves